ejrALGmatriz

(%i2)

g( v) : = matrix([ v[ 1], v[ 3] - v[ 2]],[ v[ 2] - v[ 3], v[ 4]]) $
e4 : ident( 4) $

El ejemplo nos dice que la aplicación es:

(%i4)

expr : rat([ p_0, p_1, p_2, p_3]. matrix([ 1],[ X],[ X ^ 2],[ X ^ 3]), X) $
print( "g(", expr, ")=", g([ p_0, p_1, p_2, p_3])) $

\begin{matrix} g(p_{3} X^{3} + p_{2} X^{2} + p_{1} X + p_{0})= [\begin{matrix} p_{0} & p_{2} - p_{1} \\ p_{1} - p_{2} & p_{3} \end{matrix}] \end{matrix}

Veamos la siguiente función, $fg:\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^4$, que nos representa una matriz en formato vector:

(%i5)

fg( m) : = flatten( makelist( makelist( m[ i, j], i, 1, 2), j, 1, 2)) $

La matriz asociada será la proporcionada por las imágenes de la base canónica de $\mathbb{R}^4$

(%i6)

Mf : transpose( matrix( fg( g( row( e4, 1)[ 1])), fg( g( row( e4, 2)[ 1])), fg( g( row( e4, 3)[ 1])), fg( g( row( e4, 4)[ 1])))) ;

\begin{matrix} (Mf) & [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

Ved que en $g$ hemos introducido las filas como vector, lo correcto es introducir las columnas; pero, maxima no devuelve las columnas como vector y habría que trasponerlas. Sin embargo, como la base canónica e4 es simétrica nos da igual filas que columnas.

Como observamos, para construir la función utilizamos constantemente el espacio vectorial $\mathbb{R}^4$ de paso; así g es la composición de $\mathbb{R}^4\to\mathbb{P}_3(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ y para calcular la matriz asociada hemos utilizado $fg:\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^4$

Para verificar el resultado utilizamos la inversa de $fg$, $ifg:\mathbb{R}^4\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$:

(%i8)

ifg( v) : = matrix([ v[ 1], v[ 2]],[ v[ 3], v[ 4]]) $
ifg(( transpose( Mf. transpose( matrix([ p_0, p_1, p_2, p_3])))[ 1])) ;

\begin{matrix} (%o8) & [\begin{matrix} p_{0} & p_{1} - p_{2} \\ p_{2} - p_{1} & p_{3} \end{matrix}] \end{matrix}

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