Definimos las apliaciones lineales y consideramos como base de \(\mathbb{R}^3\) la canónica.
(%i6) f ( x , y , z ) : = [ x − 3 · y , y − x , 4 · z , x − y ] $
g ( x , y , z ) : = [ 3 · z − x , y − x , y + z , 2 · x + z ] $
h ( x , y , z ) : = [ x − z , y − z , z − x , x − y ] $
e1 : [ 1 , 0 , 0 ] $ e2 : [ 0 , 1 , 0 ] $ e3 : [ 0 , 0 , 1 ] $
Ahora calculamos las matrices asociadas a cada aplicación lineal.
(%i9) Mf : transpose ( matrix ( f ( e1 [ 1 ] , e1 [ 2 ] , e1 [ 3 ] ) ,
  f ( e2 [ 1 ] , e2 [ 2 ] , e2 [ 3 ] ) ,
  f ( e3 [ 1 ] , e3 [ 2 ] , e3 [ 3 ] ) ) ) ;
Mg : transpose ( matrix ( g ( e1 [ 1 ] , e1 [ 2 ] , e1 [ 3 ] ) ,
  g ( e2 [ 1 ] , e2 [ 2 ] , e2 [ 3 ] ) ,
  g ( e3 [ 1 ] , e3 [ 2 ] , e3 [ 3 ] ) ) ) ;
Mh : transpose ( matrix ( h ( e1 [ 1 ] , e1 [ 2 ] , e1 [ 3 ] ) ,
  h ( e2 [ 1 ] , e2 [ 2 ] , e2 [ 3 ] ) ,
  h ( e3 [ 1 ] , e3 [ 2 ] , e3 [ 3 ] ) ) ) ;

\[\operatorname{ }\begin{bmatrix}1 & -3 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 4\\ 1 & -1 & 0\end{bmatrix}\]

\[\operatorname{ }\begin{bmatrix}-1 & 0 & 3\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & 0 & 1\end{bmatrix}\]

\[\operatorname{ }\begin{bmatrix}1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0\end{bmatrix}\]

Solo nos resta calcular el rango de cada matriz:
(%i12) rank ( Mf ) ;
rank ( Mg ) ;
rank ( Mh ) ;

\[\operatorname{ }3\]

\[\operatorname{ }3\]

\[\operatorname{ }2\]

Created with wxMaxima.