Para ayudarnos construimos el isomorfismo que nos lleva las matrices 2x2 a vectores de cuatro componentes y su inverso.

(%i2) define( Isom( m), flatten( makelist( makelist( m[ i, j], j, 1, 2), i, 1, 2))) $
define( InvIsom( v), matrix([ v[ 1], v[ 2]],[ v[ 3], v[ 4]])) $

Nos dicen que \(S=\textbf{Gen}\{[[1,2],[2,1]],\) \([[0,-1],[1,1]]\}\) \(\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) y
\(T=\textbf{Gen}\{[[-1,0],[3,-1]], [[1,9],[9,-2]]\}\)

El subespacio \(S+T\) estará generado por: \(S+T=\textbf{Gen}\{[[1,2],[2,1]], [[0,-1],[1,1]],\) \([[-1,0],[3,-1]], [[1,9],[9,-2]]\}\). Solo necesitamos las matrices linealmente independientes:

(%i10) s1 : matrix([ 1, 2],[ 2, 1]) $
s2 : matrix([ 0, - 1],[ 1, 1]) $
S : transpose( matrix( Isom( s1), Isom( s2))) $
t1 : matrix([ - 1, 0],[ 3, - 1]) $
t2 : matrix([ 1, 9],[ 9, - 2]) $
T : transpose( matrix( Isom( t1), Isom( t2))) $
ST : addcol( S, T) ;
rank( ST) ;
(ST) [ 1 0 − 1 1 2 − 1 0 9 2 1 3 9 1 1 − 1 − 2 ] (%o10) 3

Como la dimensión de S+T es 3, necesitaremos un menor de orden tres distinto de cero, dicho menor lo constotuiran los vectores columna l.i.:

(%i11) determinant( submatrix( 4, ST, 4)) ;
(%o11) − 7

Así pues, el determinante de orden cuatro, resultante de sustituir la última columna de ST por el vector [x,y,z,t], nos dará la ecuación implícita buscada:

(%i14) ST : addcol( submatrix( ST, 4), transpose( matrix([ x, y, z, t]))) $
eqST : rat( determinant( ST), t, z, y, x) $
print( "S+T=", "{", InvIsom([ x, y, z, t]), ";", eqST = 0, "}") $
S+T= { [ x y z t ] ; 13 ⁢ x − 5 ⁢ y + 2 ⁢ z − 7 ⁢ t = 0 }

La suma(en valor absoluto) de las coordenadas de la componente normal de la ecuación implícita es:

(%i18) v :[ x, y, z, t] $
cn : makelist( coeff( eqST, v[ i]), i, 1, 4) $
cn / sqrt( cn. cn) $
round( sum( %[ i], i, 1, 4) * 100) / 100, numer ;
(%o18) 0.19

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