EjrALGpseudoinv03

(%i1)

A : matrix([ 1, 1, 0],[ 0, 1, 1]) $

Para resolver nuestro ejercicio necesitamos $R=A^t(AA^t)^{-1}.$

(%i3)

At : transpose( A) $
AAt : A. At ;

\begin{matrix} (AAt) & (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \end{matrix}

Utilizamos operaciones elementales para encontrar la inversa de AAt:

(%i4)

X : addcol( AAt, ident( 2)) ;

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}

Intercambiamos las filas 1 y 2, f1↔f2

(%i5)

X : rowswap( X, 1, 2) ;

\begin{matrix} 0 errores, 0 advertencias \end{matrix}

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}) \end{matrix}

A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por 2: f2-2*f1

(%i6)

X : rowop( X, 2, 1, 2) ;

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 3 & 1 & - 2 \end{matrix}) \end{matrix}

Para multiplicar una fila por un número es equivalente a restar la misma fila, solo hay que fijarse en los siguiente: Supongamos que deseamos obtener $\beta f_i$, necesitamos un $\alpha$ que cumpla, \[\beta f_i=\gamma f_i-\alpha\gamma f_i\to \beta=\gamma(1-\alpha).\]
De esta foma, si queremos que el elemento -3, nuestro $\gamma $, sea un 1, nuestro $\beta $, entonces \[\alpha=1-\frac{\beta}{\gamma}.\]

(%i7)

X : rowop( X, 2, 2,( 1 - 1 /( - 3))) ;

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix}) \end{matrix}

Por último, hacemos que el elemento {12} sea 0:

(%i8)

X : rowop( X, 1, 2, 2) ;

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix}) \end{matrix}

La inversa que buscamos es:

(%i9)

invAAt : submatrix( X, 1, 2) ;

\begin{matrix} (invAAt) & (\begin{matrix} \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix}) \end{matrix}

Para terminar, solo nos falta multiplicar por la traspuesta:

(%i10)

R : At. invAAt ;

\begin{matrix} (R) & (\begin{matrix} \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix}) \end{matrix}

Verifiquemos:

(%i11)

A. R ;

\begin{matrix} (%o11) & (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}

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