EjrALGproy03

Primero necesitamos una base del subespacio vectorial. Procedemos a obtener los vectores de la base haciendo las sustituciones habituales:

(%i4)

m : matrix([ 3 * a + 2 * b, - 2 * a - b],[ b, a]) $
s1 : ev( m, a = 1, b = 0) $
s2 : ev( m, a = 0, b = 1) $
print( "S", "=", "Gen", "{", s1, s2, "}") $

\begin{matrix} S = Gen {[\begin{matrix} 3 & - 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}], [\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]} \end{matrix}

Ahora, ortogonalizamos la base, pues la necesitamos ortogonal para calcular la proyección:

(%i6)

u1 : s1 ;
u2 : s2 -( mat_trace( transpose( s2). u1) / mat_trace( transpose( u1). u1)) * u1 ;

\begin{matrix} (u1) & [\begin{matrix} 3 & - 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \\ 0 errores, 0 advertencias \end{matrix}

\begin{matrix} (u2) & [\begin{matrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7} \\ 1 & - \frac{4}{7} \end{matrix}] \end{matrix}

Ya estamos en condiciones de aplicar: \[\textbf{proy}_S(\vec{v})=\sum_{i=1}^m\frac{\vec{v}\bullet\vec{u}_i}{\parallel\vec{u}_i\parallel^2}\vec{u}_i.\]

(%i9)

v : matrix([ - 1, 0],[ 2, 1]) $
p :( mat_trace( transpose( v). u1) / mat_trace( transpose( u1). u1)) * u1 +
( mat_trace( transpose( v). u2) / mat_trace( transpose( u2). u2)) * u2 ;
sqrt(( mat_trace( transpose( p). p)), numer ;

\begin{matrix} (p) & [\begin{matrix} - \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \end{matrix}] \end{matrix}

\begin{matrix} (%o9) & 1.095445115010332 \end{matrix}

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