EjrALGproy02

Primero necesitamos una base del subespacio vectorial. Plantearemos las ecuaciones y resolvemos el sistema:

(%i3)

eq1 : 2 * x + y - z $
eq2 : x - y + 3 * t $
sol : linsolve([ eq1, eq2],[ x, y, z, t]) ;

\begin{matrix} (sol) & [x = %r2, y = %r2 + 3 %r1, z = 3 %r2 + 3 %r1, t = %r1] \end{matrix}

Procedemos a obtener los vectores de la base haciendo las sustituciones habituales:

(%i5)

v1 : ev([ x, y, z, t], ev( sol, %r1 = 1, %r2 = 0)) ;
v2 : ev([ x, y, z, t], ev( sol, %r1 = 0, %r2 = 1)) ;

\begin{matrix} (v1) & [0, 3, 3, 1] \end{matrix}

\begin{matrix} (v2) & [1, 1, 3, 0] \end{matrix}

Ahora, ortogonalizamos la base, pues la necesitamos ortogonal para calcular la proyección:

(%i7)

u1 : v2 + v1 ;
u2 : v1 -( v1. u1) /( u1. u1) * u1 ;

\begin{matrix} (u1) & [0, 3, 3, 1] \end{matrix}

\begin{matrix} (u2) & [1, - \frac{17}{19}, \frac{21}{19}, - \frac{12}{19}] \end{matrix}

Ya estamos en condiciones de aplicar: \[\textbf{proy}_S(\vec{v})=\sum_{i=1}^m\frac{\vec{v}\bullet\vec{u}_i}{\parallel\vec{u}_i\parallel^2}\vec{u}_i.\]

(%i10)

v :[ - 1, 0, 2, 1] $
( v. u1) /( u1. u1) * u1 +( v. u2) /( u2. u2) * u2 ;
sqrt( %. %), numer ;

\begin{matrix} (%o9) & [\frac{11}{65}, \frac{62}{65}, \frac{84}{65}, \frac{17}{65}] \end{matrix}

\begin{matrix} (%o10) & 1.63613051952559 \end{matrix}

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