EjrALGminimos01

Una parábola es de la forma $y=ax^2+bx+c$, luego nos plantea un sistema de la forma:

(%i4)

x :[ 1, - 1, 3, - 2] $
y :[ 5 . 5, 15 . 5, 11 . 2, 26 . 4] $
A : transpose( matrix( x ^ 2, x ^ 1, x ^ 0)) $
print( A, matrix([ a],[ b],[ c]), "=", transpose( y)) $

\begin{matrix} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ 4 & - 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5.5 \\ 15.5 \\ 11.2 \\ 26.4 \end{matrix}] \end{matrix}

Veamos si tiene solución:

(%i5)

if rank( addcol( A, transpose( y)))> rank( A) then print( "Sistema Incompatible") $

\begin{matrix} rat: replaced 5.5 by 11/2 = 5.5 \\ rat: replaced 15.5 by 31/2 = 15.5 \\ rat: replaced 11.2 by 56/5 = 11.2 \\ rat: replaced 26.4 by 132/5 = 26.4 \\ Sistema Incompatible \end{matrix}

Si rank(A) es igual al número de incógnitas tendremos una aproximación por mínimos cuadrados:

(%i6)

if rank( A) = matrix_size( A)[ 2] then print( "Existe solución por mínimos cuadrados") $

\begin{matrix} 0 errores, 0 advertencias \\ Existe solución por mínimos cuadrados \end{matrix}

Esta solución vendrá dada por $\bar{x}=(A^t.A)^{-1}.A^t.y$

(%i8)

xm : invert( transpose( A). A). transpose( A). transpose( y) $
xm : truncate( xm * 100) / 100, numer $ /* truncamos a dos decimales */

La parábola que buscamos es:

(%i9)

xm. matrix([ z ^ 2],[ z],[ 1]) ; /* utilizamos la variable z para no confundir */

\begin{matrix} (%o9) & 1.96 z^{2} - 5.0 z + 8.53 \end{matrix}

Ahora la dibujamos con los puntos para ver la aproximación:

(%i10)

wxplot2d([ %,[ discrete, makelist([ x[ i], y[ i]], i, 1, 4)]],[ z, - 2 . 5, 3 . 5],[ style, lines, points]) ;

\begin{matrix} (%t10) \end{matrix}

\begin{matrix} (%o10) \end{matrix}

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