Consideremos una apliación lineal del conjunto de las matrices reales de orden dos en los polinomios reales de grado dos o menos: , \(f:\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{P}_2(\mathbb{R})\), dada por:
(%i2) f ( x ) : = x [ 1 , 1 ] + ( x [ 1 , 2 ] − 2 · x [ 2 , 1 ] ) · X + 3 · x [ 2 , 2 ] · X ^ 2 $
print ( "f" , matrix ( [ a , b ] , [ c , d ] ) , "=" , f ( matrix ( [ a , b ] , [ c , d ] ) ) ) $

\[\]\[\mbox{}f\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}=3 {{X}^{2}} d+X\, \left( b-2 c\right) +a\]

Para resolver el problema debemos recordad que existen aplicaciones lineales: \((g\circ I_4):\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) , tal que \((I_3\circ f)=(g\circ
I_4)\). Donde \(I_4:\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^4\), donde \(I_4\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}=[a,b,c,d]\), e \(I_3:\mathbb{P}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^3\), donde \(I_3(a+bX+cX^2)=[a,b,c]\),
(%i3) g ( x ) : = [ x [ 1 ] , ( x [ 2 ] − 2 · x [ 3 ] ) , 3 · x [ 4 ] ] $
La matriz asociada a la aplicación \(f\), respecto de la base B, será la matriz cuyas columnas son las imágenes de la base imagen \(I_4(B)\) por la aplicación \(g\):
(%i5) Mf : transpose ( matrix ( g ( [ 1 , 0 , 0 , 0 ] ) , g ( [ 0 , 1 , 0 , 0 ] ) , g ( [ 0 , 0 , 1 , 0 ] ) , g ( [ 0 , 0 , 0 , 1 ] ) ) ) ;
print ( "f" , matrix ( [ a , b ] , [ c , d ] ) , "=" , ( matrix ( [ 1 , X , X ^ 2 ] ) ) . Mf . ( matrix ( [ a ] , [ b ] , [ c ] , [ d ] ) ) ) $

\[\operatorname{ }\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\end{bmatrix}\] \[\]\[\mbox{}f\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}=3 {{X}^{2}} d+X\, \left( b-2 c\right) +a\]

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