(%i8) s : [ 1 , 2 , 0 , − 1 ] $
s1 : [ 1 , 3 , 0 , − 1 ] $
s2 : [ 1 , − 1 , 1 , 0 ] $
t : [ 0 , − 1 , 1 , 3 ] $
t1 : [ 1 , − 2 , 0 , 1 ] $
t2 : [ 0 , 1 , − 1 , 1 ] $
rank ( matrix ( s1 , s2 ) ) ;
rank ( matrix ( t1 , t2 ) ) ;

\[\operatorname{ }2\]

\[\operatorname{ }2\]

El rango anterior nos indica los vectores que necesitamos para deducir sus ecuaciones implícitas. Como el rango en ambos casos es 2, tendremos dos ecuaciones implícitas por cada variedad.

Comencemos con S. Primero elegimos un menor de orden dos distinto de cero.

(%i11) S : transpose ( matrix ( s1 , s2 , [ x , y , z , u ] − s ) ) ;
equ1 : triangularize ( submatrix ( 1 , S ) ) ;
equ2 : triangularize ( submatrix ( 2 , S ) ) ;

\[\operatorname{ }\begin{bmatrix}1 & 1 & x-1\\ 3 & -1 & y-2\\ 0 & 1 & z\\ -1 & 0 & u+1\end{bmatrix}\]

\[\operatorname{ }\begin{bmatrix}-1 & 0 & u+1\\ 0 & -1 & -z\\ 0 & 0 & -z-y-3 u-1\end{bmatrix}\]

\[\operatorname{ }\begin{bmatrix}-1 & 0 & u+1\\ 0 & -1 & -z\\ 0 & 0 & z-x-u\end{bmatrix}\]

Para la variedad T.

(%i14) T : transpose ( matrix ( t1 , t2 , [ x , y , z , u ] − t ) ) ;
equ3 : triangularize ( submatrix ( 2 , T ) ) ;
equ4 : triangularize ( submatrix ( 4 , T ) ) ;

\[\operatorname{ }\begin{bmatrix}1 & 0 & x\\ -2 & 1 & y+1\\ 0 & -1 & z-1\\ 1 & 1 & u-3\end{bmatrix}\]

\[\operatorname{ }\begin{bmatrix}1 & 0 & x\\ 0 & -1 & z-1\\ 0 & 0 & -z+x-u+4\end{bmatrix}\]

\[\operatorname{ }\begin{bmatrix}1 & 0 & x\\ 0 & -1 & z-1\\ 0 & 0 & -z-y-2 x\end{bmatrix}\]

Ahora planteamos el sistema que nos proporciona las ecuaciones obtenidas.

(%i15) matrix ( [ equ1 [ 3 , 3 ] ] , [ equ2 [ 3 , 3 ] ] , [ equ3 [ 3 , 3 ] ] , [ equ4 [ 3 , 3 ] ] ) ;

\[\operatorname{ }\begin{bmatrix}-z-y-3 u-1\\ z-x-u\\ -z+x-u+4\\ -z-y-2 x\end{bmatrix}\]

(%i16) linsolve ( [ equ1 [ 3 , 3 ] = 0 , equ2 [ 3 , 3 ] = 0 , equ3 [ 3 , 3 ] = 0 , equ4 [ 3 , 3 ] = 0 ] , [ x , y , z , u ] ) ;

\[\operatorname{ }\left[ x=\frac{7}{2}\operatorname{,}y=-\frac{25}{2}\operatorname{,}z=\frac{11}{2}\operatorname{,}u=2\right] \]

Vemos que el rango de la matriz de coeficientes es 4, y el sistema tiene solución.
Podemos concluir que las variedades se cortan.
(%i17) rank ( matrix ( s1 , s2 , t1 , t2 ) ) ;

\[\operatorname{ }4\]

Que el rango sea 4 nos confirma las deducciones obtenidas. El rango anterior nos dice la dimensión de S+T, confirmando la fórmula Gassman:
\(dim(S)\, +\, dim(T)=dim(S+T)\,+\, dim(S\cap T)\)

Created with wxMaxima.