EjrALGim_recipr01

Como la aplicación es $f\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}=a+(b-c)X+dX^2$, construimos la función:

(%i1)

f( m) : = rat([ m[ 1, 1], m[ 1, 2] - m[ 2, 1], m[ 2, 2]]. matrix([ 1],[ X],[ X ^ 2]), X) ;

\begin{matrix} (%o1) & f (m) := rat ([m_{1, 1}, m_{1, 2} - m_{2, 1}, m_{2, 2}] . [\begin{matrix} 1 \\ X \\ X^{2} \end{matrix}], X) \end{matrix}

De este modo:

(%i2)

f( matrix([ a, b],[ c, d])) ;

\begin{matrix} (%o2)/R/ & d X^{2} + (- c + b) X + a \end{matrix}

Cuyas coordenadas en la base canónica de $\mathbb{R}_2[X]$ es:

(%i3)

coor( p) : =[ coeff( p, X, 0), coeff( p, X, 1), coeff( p, X, 2)] $

Así:

(%i4)

coor( f( matrix([ a, b],[ c, d]))) ;

\begin{matrix} (%o4)/R/ & [a, - c + b, d] \end{matrix}

Ahora determinamos la matriz asociada la aplicación, utilizando la base canónica de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$:

(%i5)

Mf : transpose( matrix( coor( f( matrix([ 1, 0],[ 0, 0]))),
       coor( f( matrix([ 0, 1],[ 0, 0]))),
       coor( f( matrix([ 0, 0],[ 1, 0]))),
       coor( f( matrix([ 0, 0],[ 0, 1]))))) ;

\begin{matrix} (Mf) & [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

Recordemos que si tenemos una aplicación lineal $f:V\to W$, entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, y consideramos un vector fijo $\vec{w}\in W$, llamamos conjunto imagen recíproca al conjunto \[f^{-1}(\vec{w})=\{\vec{v}\in V;\,f(\vec{v})=\vec{w}\}\subset V.\]
Por tanto, $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}\in f^{-1}(5+X-X^2)$, si \[f\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}=5+X-X^2;\] es decir,

(%i6)

print( Mf. matrix([ a],[ b],[ c],[ d]), "=", matrix([ 5],[ 1],[ - 1])) $

\begin{matrix} [\begin{matrix} a \\ b - c \\ d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}] \end{matrix}

Sustituimos las tres matrices y verificamos:

(%i9)

Mf. matrix([ 5],[ 2],[ 1],[ 1]) ;
Mf. matrix([ 5],[ 3],[ 2],[ - 1]) ;
Mf. matrix([ 2],[ 1],[ 0],[ - 1]) ;

\begin{matrix} (%o7)/R/ & [\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] \end{matrix}

\begin{matrix} (%o8)/R/ & [\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}] \end{matrix}

\begin{matrix} (%o9)/R/ & [\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}] \end{matrix}

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