EjrALGcoor02

Tratamos de deducir las coordenadas del polinomio $X^4-X^3-3X^2-2$ respecto de la base $\{1-X^3,X-X^2,X^2-X^4,2X^3,X^4-1\}$

Para nuestro propósito, consideremos la apliación de los polinomios de grado 4 los vectores de $\mathbb{R}^5$ dada por:

(%i3)

expr : rat([ p_0, p_1, p_2, p_3, p_4]. matrix([ 1],[ X],[ X ^ 2],[ X ^ 3],[ X ^ 4]), X) $
h( p) : =[ coeff( p, X, 0), coeff( p, X, 1), coeff( p, X, 2), coeff( p, X, 3), coeff( p, X, 4)] $
print( "h(", expr, ")=", h( expr)) $

\begin{matrix} h(p_{4} X^{4} + p_{3} X^{3} + p_{2} X^{2} + p_{1} X + p_{0})= [p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}] \end{matrix}

La matriz del cambio de base es:

(%i4)

base : transpose( matrix( h( 1 - X ^ 3), h( X - X ^ 2), h( X ^ 2 - X ^ 4), h( 2 * X ^ 3), h( X ^ 4 - 1))) ;

\begin{matrix} (base) & [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

Como las coordenadas del polinomio $X^4-X^3-3X^2-2$ respecto de la base canónica son

(%i5)

coor : h( X ^ 4 - X ^ 3 - 3 * X ^ 2 - 2) ;

\begin{matrix} (coor) & [- 2, 0, - 3, - 1, 1] \end{matrix}

las nuevas coordenadas son:

(%i6)

new_coor :( transpose( invert( base). transpose( matrix( coor)))) ;

\begin{matrix} (new_coor) & (\begin{matrix} - 4 & 0 & - 3 & - \frac{5}{2} & - 2 \end{matrix}) \end{matrix}

En efecto,

(%i7)

rat( new_coor. matrix([ 1 - X ^ 3],[ X - X ^ 2],[ X ^ 2 - X ^ 4],[ 2 * X ^ 3],[ X ^ 4 - 1]), X) ;

\begin{matrix} (%o7)/R/ & X^{4} - X^{3} - 3 X^{2} - 2 \end{matrix}

Ahora solo nos resta determinar su norma:

(%i8)

sqrt( new_coor. transpose( new_coor)), numer ;

\begin{matrix} (%o8) & 5.937171043518958 \end{matrix}

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