EjrALGcoor01

Tratamos de deducir las coordenadas del polinomio $3X^3-2X^2+X-1$ respecto de la base $\{1-X^3,X-X^3,X^2-X^3,2X^3\}$

Para nuestro propósito, consideremos la apliación de los polinomios de grado 3 los vectores de $\mathbb{R}^4$ daad por:

(%i3)

expr : rat([ p_0, p_1, p_2, p_3]. matrix([ 1],[ X],[ X ^ 2],[ X ^ 3]), X) $
h( p) : =[ coeff( p, X, 0), coeff( p, X, 1), coeff( p, X, 2), coeff( p, X, 3)] $
print( "h(", expr, ")=", h( expr)) $

\begin{matrix} h(p_{3} X^{3} + p_{2} X^{2} + p_{1} X + p_{0})= [p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}] \end{matrix}

La matriz del cambio de base es:

(%i4)

base : transpose( matrix( h( 1 - X ^ 3), h( X - X ^ 3), h( X ^ 2 - X ^ 3), h( 2 * X ^ 3))) ;

\begin{matrix} (base) & [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 2 \end{matrix}] \end{matrix}

Como las coordenadas del polinomio $3X^3-2X^2+X-1$ respecto de la base canónica son [-1,1,-2,3], las nuevas coordenadas son:

(%i5)

new_coor :( transpose( invert( base). transpose( matrix([ - 1, 1, - 2, 3])))) ;

\begin{matrix} (new_coor) & (\begin{matrix} - 1 & 1 & - 2 & \frac{1}{2} \end{matrix}) \end{matrix}

En efecto,

(%i6)

rat( new_coor. matrix([ 1 - X ^ 3],[ X - X ^ 3],[ X ^ 2 - X ^ 3],[ 2 * X ^ 3]), X) ;

\begin{matrix} (%o6)/R/ & 3 X^{3} - 2 X^{2} + X - 1 \end{matrix}

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