Recordemos que la multiplicidad geométrica de un autovalor, \(m_e(\lambda)\), es la dimensión del subespacio vectorial asociado, y esta es menor o igual a la multiplicidad algebraica. Por tanto, buscaremos primero los autovalores con mayor multiplicidad algebraica. Designemos la matriz y determinemos su ecuación característica:

(%i3) A : matrix([ 3, 2, - 1],[ 2, 3, 1],[ 0, 0, 5]) ;
eq : ratsimp( determinant( A - x * ident( 3))) $
print( "Ecuación característica:", eq = 0) $
(A) [ 3 2 − 1 2 3 1 0 0 5 ] Ecuación característica: − x 3 + 11 ⁢ x 2 − 35 ⁢ x + 25 = 0

Las soluciones de la ecuación característica nos determinan los autovalores:

(%i4) factor( eq) ;
(%o4) − ( x − 5 ) 2 ⁢ ( x − 1 )

En este caso, para el autovalor 5, \(m_a(5)=2\). Estudiemos su multilpicidada geométrica:

(%i6) X :[ x, y, z] $
eq :( A - 5 * ident( 3)). transpose( matrix( X)) ;
(eq) [ − z + 2 ⁢ y − 2 ⁢ x z − 2 ⁢ y + 2 ⁢ x 0 ]
(%i8) sist : flatten( makelist( row( eq, i)[ 1], i, 1, 3)) $
sol : linsolve( sist, X) ;
solve: dependent equations eliminated: (3 2) (sol) [ x = − %r1 − 2 ⁢ %r2 2 , y = %r2 , z = %r1 ]

La solución nos proporciona dos parámetros, luego tendremos dos vectores: \(m_e(5)=2\). 5 es el autovalor que buscamos. Ahora, evaluamos de la forma habitual para obtener los autovectores:

(%i10) v1 : ev( X, ev( sol, %rnum_list[ 1] = 1, %rnum_list[ 2] = 0)) ;
v2 : ev( X, ev( sol, %rnum_list[ 1] = 0, %rnum_list[ 2] = 1)) ;
(v1) [ − 1 2 , 0 , 1 ] (v2) [ 1 , 1 , 0 ]

Verifiquemos que es el autovector buscado:

(%i11) makelist( print( A, v, "=", A. v, "=", 5, "·", v), v,[ transpose( v1), transpose( v2)]) $
[ 3 2 − 1 2 3 1 0 0 5 ] [ − 1 2 0 1 ] = [ − 5 2 0 5 ] = 5 · [ − 1 2 0 1 ] [ 3 2 − 1 2 3 1 0 0 5 ] [ 1 1 0 ] = [ 5 5 0 ] = 5 · [ 1 1 0 ]

Solo nos resta calcular el producto de sus normas:

(%i13) makelist( sqrt( v. v), v,[ v1, v2]) ;
product( %[ i], i, 1, 2), numer ;
(%o12) [ 5 2 , 2 ] (%o13) 1.58113883008419

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