EjrALGautovectores02

Designemos la matriz y determinemos su ecuación característica:

(%i3)

A : matrix([ 4, - 1, 6],[ 2, 1, 6],[ 2, - 1, 8]) ;
eq : ratsimp( determinant( A - x * ident( 3))) $
print( "Ecuación característica:", eq = 0) $

\begin{matrix} (A) & [\begin{matrix} 4 & - 1 & 6 \\ 2 & 1 & 6 \\ 2 & - 1 & 8 \end{matrix}] \\ Ecuación característica: - x^{3} + 13 x^{2} - 40 x + 36 = 0 \end{matrix}

Las soluciones de la ecuación característica nos determinan los autovalores:

(%i4)

factor( eq) ;

\begin{matrix} (%o4) & - (x - 9) {(x - 2)}^{2} \end{matrix}

Como vimos y comprobamos, el mayor autovalor es 9. Determinemos el sistema homogeno que nos proporcionará su único autovalor. Sabemos que este es único, ya que la multiplicidad algebraica de 9, $m_a(9)$, es 1; luego no puede tener más de un autovector.

(%i6)

X :[ x, y, z] $
eq :( A - 9 * ident( 3)). transpose( matrix( X)) ;

\begin{matrix} (eq) & [\begin{matrix} 6 z - y - 5 x \\ 6 z - 8 y + 2 x \\ - z - y + 2 x \end{matrix}] \end{matrix}

(%i8)

sist : flatten( makelist( row( eq, i)[ 1], i, 1, 3)) $
linsolve( sist, X) ;

\begin{matrix} solve: dependent equations eliminated: (3) \end{matrix}

\begin{matrix} (%o8) & [x = %r1, y = %r1, z = %r1] \end{matrix}

Ahora, evaluamos de la forma habitual para obtener el vector propio o autovector:

(%i9)

v : ev( X, ev( %, %r1 = 1)) ;

\begin{matrix} (v) & [1, 1, 1] \end{matrix}

Verifiquemos que es el autovector buscado:

(%i10)

print( A, transpose( v), "=", A. transpose( v), "=", 9, "·", transpose( v)) $

\begin{matrix} [\begin{matrix} 4 & - 1 & 6 \\ 2 & 1 & 6 \\ 2 & - 1 & 8 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 9 \\ 9 \\ 9 \end{matrix}] = 9 \cdot [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] \end{matrix}

Solo resta calcular su norma:

(%i11)

sqrt( v. v) ;

\begin{matrix} (%o11) & \sqrt{3} \end{matrix}

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