Ejer_inversa01

(%i1)

A : matrix([ 3, 0, - 1, 1],[ - 2, 3, 2, 2],[ 4, 2, - 1, 1],[ - 1, 2, - 3, 0]) $

Para calcular la inversa utilizaremos el procedimiento de realizar operaciones elementales que transformen [A|I] en [I|B], donde I es la identidad. La matriz resultante B será la inversa buscada.

Consideremos la matriz ampliada [A|I]

(%i2)

X : addcol( A, ident( 4)) ;

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 3 & 0 & - 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 3 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}

Primero consigamos el 1 elemento de X[1,1] sea 1, para ello tendremos que restarle a la primera fila la misma multiplicada por (1-1/X[1,1]):

(%i3)

X : rowop( X, 1, 1, 1 - 1 / X[ 1, 1]) ;

\begin{matrix} 0 errores, 0 advertencias \end{matrix}

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 3 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}

Ahora consigamos hace ceros todos los elementos de la columna 1 por debajo de X[1,1]:

(%i6)

X : rowop( X, 2, 1, X[ 2, 1]) $
X : rowop( X, 3, 1, X[ 3, 1]) $
X : rowop( X, 4, 1, X[ 4, 1]) ;

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & \frac{4}{3} & \frac{8}{3} & \frac{2}{3} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - \frac{10}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}

El siguiente paso es hacer X[2,2] que sea 1, para ello:

(%i7)

X : rowop( X, 2, 2, 1 - 1 / X[ 2, 2]) ;

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{8}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - \frac{10}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}

Consigamos que sean cero todos los elementos

(%i9)

X : rowop( X, 3, 2, X[ 3, 2]) $
X : rowop( X, 4, 2, X[ 4, 2]) ;

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{8}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{5}{9} & - \frac{19}{9} & - \frac{16}{9} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{38}{9} & - \frac{13}{9} & - \frac{1}{9} & - \frac{2}{3} & 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}

Repitamos el proceso para hacer X[3,3] que valga 1 y ceros los elementos posteriores:

(%i11)

X : rowop( X, 3, 3, 1 - 1 / X[ 3, 3]) $
X : rowop( X, 4, 3, X[ 4, 3]) ;

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{8}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{19}{5} & \frac{16}{5} & \frac{6}{5} & - \frac{9}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{73}{5} & \frac{67}{5} & \frac{22}{5} & - \frac{38}{5} & 1 \end{matrix}) \end{matrix}

Ahora solo nos queda hace 1 el elemento X[4,4]:

(%i12)

X : rowop( X, 4, 4, 1 - 1 / X[ 4, 4]) ;

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{8}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{19}{5} & \frac{16}{5} & \frac{6}{5} & - \frac{9}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{67}{73} & \frac{22}{73} & - \frac{38}{73} & \frac{5}{73} \end{matrix}) \end{matrix}

El siguiente paso es hacer ceros los elementos superiores a la diagonal principal con el procedimiento que hemos visto:

(%i15)

X : rowop( X, 3, 4, X[ 3, 4]) $
X : rowop( X, 2, 4, X[ 2, 4]) $
X : rowop( X, 1, 4, X[ 1, 4]) ;

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{73} & - \frac{22}{219} & \frac{38}{219} & - \frac{5}{219} \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & 0 & - \frac{130}{219} & \frac{43}{657} & \frac{304}{657} & - \frac{40}{657} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{21}{73} & \frac{4}{73} & \frac{13}{73} & - \frac{19}{73} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{67}{73} & \frac{22}{73} & - \frac{38}{73} & \frac{5}{73} \end{matrix}) \end{matrix}

Y lo mismo para la columna 3:

(%i17)

X : rowop( X, 2, 3, X[ 2, 3]) $
X : rowop( X, 1, 3, X[ 1, 3]) ;

\begin{matrix} (X) & (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{5}{73} & - \frac{6}{73} & \frac{17}{73} & - \frac{8}{73} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{34}{73} & \frac{3}{73} & \frac{28}{73} & \frac{4}{73} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{21}{73} & \frac{4}{73} & \frac{13}{73} & - \frac{19}{73} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{67}{73} & \frac{22}{73} & - \frac{38}{73} & \frac{5}{73} \end{matrix}) \end{matrix}

Observemos que no es necesario hacer 0 el elemento X[1,2], pues lo es. Ya tenemos la matriz inversa que buscábamos:

(%i18)

invA : submatrix( X, 1, 2, 3, 4) ;

\begin{matrix} (invA) & (\begin{matrix} - \frac{5}{73} & - \frac{6}{73} & \frac{17}{73} & - \frac{8}{73} \\ - \frac{34}{73} & \frac{3}{73} & \frac{28}{73} & \frac{4}{73} \\ - \frac{21}{73} & \frac{4}{73} & \frac{13}{73} & - \frac{19}{73} \\ \frac{67}{73} & \frac{22}{73} & - \frac{38}{73} & \frac{5}{73} \end{matrix}) \end{matrix}

Created with wxMaxima.