Ejer_integral_triple01

Recordemos que un volumen acotado por regiones R es \(\iiint_R\,dV\).
Nos dicen que z=0 y x+2y+z=2, luego 0≤z≤2-x-2y

(%i1)

integrate( 1, z, 0, 2 - x - 2 * y) ;

\begin{matrix} (%o1) & - 2 y - x + 2 \end{matrix}

Si consideramos z=0, y estará acotada por x=2y y x+2y=2, luego x/2≤y≤1-x/2

(%i2)

integrate( %, y, x / 2, 1 - x / 2) ;

\begin{matrix} (%o2) & \frac{3 x^{2} - 4 x}{4} + \frac{x^{2} - 4 x + 4}{4} \end{matrix}

Por último, como y≤1/2 y x=2y, 0≤x≤1

(%i3)

integrate( %, x, 0, 1) ;

\begin{matrix} (%o3) & \frac{1}{3} \end{matrix}

El proceso para realizarlo en una sola línea sería:

(%i4)

integrate( integrate( integrate( 1, z, 0, 2 - x - 2 * y), y, x / 2, 1 - x / 2), x, 0, 1) ;

\begin{matrix} (%o4) & \frac{1}{3} \end{matrix}

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