Ejer_grad01

Definimos la función:

(%i3)

z( x, y) : = exp( - x ^ 2 - y ^ 2) ;
p :[ 1, 1] $
wxplot3d( z( x, y),[ x, 0, 2],[ y, 0, 2]) ;

\begin{matrix} (%o1) & z (x, y) := \exp (- x^{2} - y^{2}) \end{matrix}

\begin{matrix} (%t3) \end{matrix}

\begin{matrix} (%o3) \end{matrix}

Ahora definimos el gradiente que nos determina el ritmo de máxima variación:

(%i4)

define( nabla( x, y), matrix([ diff( z( x, y), x), diff( z( x, y), y)])) ;

\begin{matrix} (%o4) & nabla (x, y) := (\begin{matrix} - 2 x {%e}^{- y^{2} - x^{2}} & - 2 y {%e}^{- y^{2} - x^{2}} \end{matrix}) \end{matrix}

Lo necesitmos en el punto p y buscamos su norma:

(%i7)

vm : nabla( p[ 1], p[ 2]) $
rm : float( round( float( sqrt( vm. transpose( vm))) * 100) / 100) $
print( "El ritmo de máxima variación en ",[ p[ 1], p[ 2]], "es de", rm, "en la dirección", vm[ 1]) $

\begin{matrix} El ritmo de máxima variación en [1, 1] es de 0.38 en la dirección [- 2 {%e}^{- 2}, - 2 {%e}^{- 2}] \end{matrix}

(%i10)

v :[ vm[ 1][ 1], vm[ 1][ 2]] $
v :( 1 / sqrt( v. v)) * v $
wxdraw3d( color = green,
   contour_levels = 5,
   contour = both,
   surface_hide = true,
   explicit( z( x, y), x, 0, 2, y, 0, 2),
   color = red,
   head_length = 0 . 01,
   line_width = 3,
   vector([ p[ 1], p[ 2], z( p[ 1], p[ 2])],[ v[ 1], v[ 2], 1])) ;

\begin{matrix} 0 errores, 0 advertencias \end{matrix}

\begin{matrix} (%t10) \end{matrix}

\begin{matrix} (%o10) \end{matrix}

El vector vm, el gradiente, nos indica la dirección, en el plano XY, de máximo crecimientos. La representación colocamos un vector de 3 componentes, con la z=1, para visualizar que la dirección (x,y) nos hace "subir la elevación".

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