Ejercicio

Determinar la distancia al origen de la recta \(r:3x-4y-25=0\)
Resolveremos el problema de dos formas: a) utilizando la fórmula, b) deduciendo la intersección de la recta perpendicular al plano que pasa por el origen.

1 Mediante la fórmula

En este caso, la distancia entre un punto \(P\) y la recta \(r:ax+by+c=0\), que no lo contiene, lo haremos mediante: \[d(P,r)=\frac{|ap_1+bp_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
(%i3) O : [ 0 , 0 ] $ /* el origen */
r : [ 3 , − 4 , − 25 ] $ /* coeficientes de la recta */
/* d(P,r)=|a*p1+b*p2+c|/sqrt(a^2+b^2) */
abs ( r [ 1 ] · O [ 1 ] + r [ 2 ] · O [ 2 ] + r [ 3 ] ) / sqrt ( r [ 1 ] ^ 2 + r [ 2 ] ^ 2 ) ;

\[\operatorname{ }5\]

2 Deduciéndolo

(%i4) /*la recta perpendicular a r que pasa por O es */
s : O + k · [ r [ 1 ] , r [ 2 ] ] ;

\[\operatorname{ }\left[ 3 k\operatorname{,}-4 k\right] \]

(%i5) /*y pasa por el punto, (k=1) */
Q : ev ( s , k = 1 ) ;

\[\operatorname{ }\left[ 3\operatorname{,}-4\right] \]

(%i6) /*la ecuación implícita será */
determinant ( matrix ( [ x , y , 1 ] , [ O [ 1 ] , O [ 2 ] , 1 ] , [ Q [ 1 ] , Q [ 2 ] , 1 ] ) ) = 0 ;

\[\operatorname{ }3 y+4 x=0\]

(%i8) /*luego el punto que buscamos es la intersección de ambas rectas */
eq : [ % , r [ 1 ] · x + r [ 2 ] · y + r [ 3 ] = 0 ] ;
linsolve ( eq , [ x , y ] ) ;

\[\operatorname{ }\left[ 3 y+4 x=0\operatorname{,}-4 y+3 x-25=0\right] \]

\[\operatorname{ }\left[ x=3\operatorname{,}y=-4\right] \]

(%i9) /*la distancia que buscamos es */
sqrt ( 3 ^ 2 + 4 ^ 2 ) ;

\[\operatorname{ }5\]

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