Matemáticas aplicadas a la Biotecnología

Optimización de Medios de Cultivo

Estudio de Bases, Independencia Lineal y Subespacios en \(\mathbb{R}^3\)

\(\dim(S) = 2\) Subespacio Plano

Contexto y Planteamiento del Problema

En un laboratorio biofarmacéutico se dispone de tres soluciones concentradas de reserva (\(v_1, v_2, v_3\)) compuestas por tres nutrientes esenciales: **Glucosa (g/L)**, **Amonio (mM)** y **Fosfato (mM)**. Los vectores de concentración de cada solución stock vienen dados por:

Solución 1 \(v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)
Solución 2 \(v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
Solución 3 \(v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\)

Se solicita realizar el siguiente análisis para el equipo técnico:

  1. Determinar si el conjunto \(\{v_1, v_2, v_3\}\) es linealmente independiente y si constituye una base del espacio tridimensional \(\mathbb{R}^3\).
  2. Hallar una base \(B_S\) y la dimensión del subespacio vectorial \(S = \text{gen}\{v_1, v_2, v_3\}\) de concentraciones alcanzables.
  3. Obtener la ecuación implícita (cartesiana) del subespacio \(S\).
  4. Evaluar si es posible preparar las siguientes combinaciones de nutrientes mediante mezcla de los stocks disponibles:
    • Formulación A: \(T_A = (3, 3, 1)^T\)
    • Formulación B: \(T_B = (2, 4, 1)^T\)

Resolución Detallada Paso a Paso

1 Estudio de Independencia Lineal

Planteamos la combinación lineal nula \(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = \mathbf{0}\), lo cual nos lleva a analizar el sistema matricial homogénio con matriz \(A\):

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \]

Calculamos el determinante de la matriz \(A\):

\[ \det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot 0) - 2 \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot 1) + 0 = 2 - 2(4 - 3) = 2 - 2 = 0 \]
Conclusión Paso 1: Como \(\det(A) = 0\), los vectores son linealmente dependientes. Por lo tanto, el conjunto \(\{v_1, v_2, v_3\}\) no forma una base de \(\mathbb{R}^3\).

2 Base y Dimensión del Subespacio \(S\)

Reducimos la matriz \(A\) por el método de Gauss para identificar las columnas pivote:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{\substack{F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 \\ F_3 \leftarrow F_3 - F_1}} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{F_3 \leftarrow F_3 - \frac{2}{3}F_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

Las dos primeras columnas contienen pivotes. Por consiguiente, los vectores originales correspondientes, \(v_1\) y \(v_2\), forman una base del subespacio:

Base de \(S\):

\[ B_S = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\} \]

Dimensión: \(\dim(S) = 2\)

3 Ecuación Implícita del Subespacio \(S\)

Un vector de concentración \((x, y, z)^T\) pertenece a \(S\) si y solo si el rango de la matriz ampliada con los vectores de la base es igual a 2:

\[ \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 2 & 1 & y \\ 1 & 0 & z \end{bmatrix} = 0 \]

Desarrollando el determinante por la tercera columna:

\[ x \cdot (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - y \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 2) + z \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = -x + 2y - 3z = 0 \]
Ecuación Cartesiana del Plano \(S\): \(x - 2y + 3z = 0\)

4 Evaluación de Viabilidad de las Formulaciones Objetivos

Formulación A: \(T_A = (3, 3, 1)^T\)

Sustituimos en la ecuación implícita \(x - 2y + 3z = 0\):

\(3 - 2(3) + 3(1) = 3 - 6 + 3 = 0\)

✓ VIABLE: \(T_A \in S\). Se obtiene mezclando \(1 \cdot v_1 + 1 \cdot v_2\).

Formulación B: \(T_B = (2, 4, 1)^T\)

Sustituimos en la ecuación implícita \(x - 2y + 3z = 0\):

\(2 - 2(4) + 3(1) = 2 - 8 + 3 = -3 \neq 0\)

✕ INVIABLE: \(T_B \notin S\). Es imposible obtener este medio con las soluciones stock actuales.