Álgebra Lineal Aplicada
Ejercicio práctico: Balance de masas y producto de matrices en bioprocesos
Módulo: Álgebra Lineal
Tema: Operaciones Matriciales
Planteamiento del Problema
Optimizando la nutrición en cultivos bacterianos
Un laboratorio de biotecnología ómica opera dos biorreactores continuos, \(\text{B}_1\) y \(\text{B}_2\), dedicados a la producción de una proteína recombinante terapéutica. Para mantener la fase exponencial del cultivo, los biorreactores se alimentan diariamente con tres soluciones nutritivas preparadas comercialmente (\(\text{N}_1, \text{N}_2, \text{N}_3\)).
1. Matriz de Composición Nutritiva (\(A\))
La matriz \(A \in \mathbb{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R})\) representa la concentración de tres macronutrientes esenciales (en \(\text{g/L}\)) contenidos en cada solución nutritiva:
- Fila 1: Glucosa (\(\text{g/L}\))
- Fila 2: Extracto de Levadura (\(\text{g/L}\))
- Fila 3: Sulfato de Amonio (\(\text{g/L}\))
- Columnas: Soluciones nutritivas \(\text{N}_1, \text{N}_2, \text{N}_3\) respectivamente.
2. Matriz de Alimentación Diaria (\(B\))
La matriz \(B \in \mathbb{M}_{3 \times 2}(\mathbb{R})\) indica el volumen (en Litros) de cada solución nutritiva que se añade diariamente a cada biorreactor:
- Filas: Soluciones nutritivas \(\text{N}_1, \text{N}_2, \text{N}_3\) respectivamente.
- Columna 1: Biorreactor 1 (\(\text{B}_1\))
- Columna 2: Biorreactor 2 (\(\text{B}_2\))
Tareas a resolver:
- Justificar numéricamente la compatibilidad dimensional del producto matricial \(C = A \cdot B\).
- Calcular de forma detallada cada entrada de la matriz resultante \(C\).
- Interpretar biológica e industrialmente el significado de cada elemento \(c_{ij}\) de la matriz \(C\).
Solución Paso a Paso
Desarrollo formal riguroso
Paso 1 Análisis de dimensiones e idoneidad del producto
Para poder realizar el producto matricial \(C = A \cdot B\), el número de columnas de la primera matriz (\(A\)) debe ser exactamente igual al número de filas de la segunda matriz (\(B\)).
Puesto que las dimensiones internas coinciden (\(3 = 3\)), el producto está bien definido y la matriz resultante \(C\) tendrá dimensión \(3 \times 2\).
Paso 2 Cálculo explícito de las entradas de la matriz \(C\)
Recordamos la definición formal del producto de matrices para cada elemento \(c_{ij}\):
\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{3} a_{ik} b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + a_{i3}b_{3j} \]Para el Biorreactor 1 (\(j = 1\)):
Glucosa total (\(c_{11}\)):
\[ c_{11} = (20)(3) + (10)(2) + (5)(4) = 60 + 20 + 20 = 100\,\text{g} \]Extracto de Levadura total (\(c_{21}\)):
\[ c_{21} = (5)(3) + (15)(2) + (10)(4) = 15 + 30 + 40 = 85\,\text{g} \]Sulfato de Amonio total (\(c_{31}\)):
\[ c_{31} = (2)(3) + (1)(2) + (4)(4) = 6 + 2 + 16 = 24\,\text{g} \]Para el Biorreactor 2 (\(j = 2\)):
Glucosa total (\(c_{12}\)):
\[ c_{12} = (20)(5) + (10)(1) + (5)(2) = 100 + 10 + 10 = 120\,\text{g} \]Extracto de Levadura total (\(c_{22}\)):
\[ c_{22} = (5)(5) + (15)(1) + (10)(2) = 25 + 15 + 20 = 60\,\text{g} \]Sulfato de Amonio total (\(c_{32}\)):
\[ c_{32} = (2)(5) + (1)(1) + (4)(2) = 10 + 1 + 8 = 19\,\text{g} \]Matriz Resultante de Masa Nutritiva Total \(C\)
\[ C = \begin{bmatrix} 100 & 120 \\ 85 & 60 \\ 24 & 19 \end{bmatrix} \]Paso 3 Interpretación Biotecnológica
Las filas de la matriz resultante \(C\) representan los **nutrientes esenciales en gramos (\(\text{g}\))**, mientras que las columnas corresponden a cada uno de los **biorreactores (\(\text{B}_1\) y \(\text{B}_2\))**:
| Nutriente / Biorreactor | Biorreactor 1 (\(\text{B}_1\)) | Biorreactor 2 (\(\text{B}_2\)) | Unidades |
|---|---|---|---|
| Glucosa (Fuente de Carbono) | 100 | 120 | Gramos (\(\text{g}\)) |
| Extracto de Levadura (Complejo vitamínico/Nitrógeno) | 85 | 60 | Gramos (\(\text{g}\)) |
| Sulfato de Amonio (Fuente inorgánica de Nitrógeno) | 24 | 19 | Gramos (\(\text{g}\)) |