Álgebra Lineal Aplicada
Ejercicio práctico: Inversión de Matrices y Preparación de Medios de Cultivo
Módulo: Álgebra Lineal
Tema: Inversión de Matrices
1. Introducción Teórica y Contexto Biotecnológico
En el laboratorio de bioprocesos es fundamental preparar medios de cultivo ajustados exactamente a los requerimientos nutricionales de un microorganismo o línea celular. Disponemos habitualmente de soluciones madre concentradas de nutrientes principales (tales como fuentes de carbono, nitrógeno y fósforo).
Un sistema de \( n \) ecuaciones lineales con \( n \) incógnitas se formula matricialmente como:
Donde \( A \in \mathbb{M}_{n imes n}(\mathbb{R}) \) representa la matriz de concentraciones conocidas de cada solución madre, \( \mathbf{v} \) representa el vector columna de volúmenes desconocidos a añadir, y \( \mathbf{b} \) es el vector de masas totales de nutrientes requeridas.
2. Fundamentos de la Inversión Matricial
Una matriz cuadrada \( A \) de orden \( n \) es invertible (o no singular) si existe una matriz \( A^{-1} \) tal que:
donde \( I_n \) es la matriz identidad de orden \( n \). Si \( \det(A) \neq 0 \), el sistema \( A \mathbf{v} = \mathbf{b} \) posee una solución única dada por:
Cálculo del Determinante
Se calcula \( \det(A) \). Es condición necesaria y suficiente que \( \det(A) \neq 0 \) para garantizar la existencia de \( A^{-1} \).
Matriz de Adjuntos
Se obtiene la matriz adjunta \( \text{adj}(A) = C^T \), donde \( C \) es la matriz de adjuntos o cofactores de \( A \).
Obtención de \( A^{-1} \)
Se aplica la fórmula explícita: \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) \) y se efectúa la multiplicación \( \mathbf{v} = A^{-1}\mathbf{b} \).
3. Dosificación Óptima de Nutrientes para un Biorreactor
Se requiere preparar un medio de cultivo específico para la fermentación de una cepa de Escherichia coli en un biorreactor. Para ello disponemos de tres soluciones concentradas stock con las siguientes composiciones nutricionales:
| Nutriente | Solución \( S_1 \) (g/L) | Solución \( S_2 \) (g/L) | Solución \( S_3 \) (g/L) | Masa Objetivo \( \mathbf{b} \) (g) |
|---|---|---|---|---|
| Glucosa (Fuente de C) | \( 10 \) | \( 5 \) | \( 2 \) | \( 54 \) |
| Extracto de Levadura (Fuente de N) | \( 2 \) | \( 4 \) | \( 1 \) | \( 24 \) |
| Fosfato Potásico (Fuente de P) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( 5 \) | \( 21 \) |
Paso 3.1: Formulación del Sistema Matricial
Definimos el vector de incógnitas \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{bmatrix} \) correspondiente a los volúmenes en litros de las soluciones \( S_1, S_2, S_3 \). El sistema algebraico resulta:
Paso 3.2: Determinante de la Matriz de Coeficientes
Calculamos, utilizando la Regla de Laplace, el determinante de la matriz \( A \) expandiendo por la primera fila:
Como \( \det(A) = 135\neq 0 \), confirmamos que la matriz es invertible y el sistema es compatible determinado.
Paso 3.3: Matriz de adjuntos y Transpuesta (Adjunta)
Calculamos los adjuntos (o cofactores) \( C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \):
\( C_{12} = -(10-1) = -9 \)
\( C_{13} = +(4-4) = 0 \)
\( C_{22} = +(50-2) = 48 \)
\( C_{23} = -(20-5) = -15 \)
\( C_{32} = -(10-4) = -6 \)
\( C_{33} = +(40-10) = 30 \)
La matriz de adjuntos \( C \) y su transpuesta \( \text{dj}(A) = C^T \) son:
Paso 3.4: Matriz Inversa y Cálculo de Volúmenes
Construimos la matriz inversa \( A^{-1} \):
Multiplicamos \( A^{-1} \) por el vector objetivo \( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 54 \\ 24 \\ 21 \end{bmatrix} \):
Conclusión Técnica del Laboratorio:
Para preparar el medio de cultivo deseado se deben mezclar exactamente 3.0 Litros de la Solución \( S_1 \), 4.0 Litros de la Solución \( S_2 \) y 2.0 Litros de la Solución \( S_3 \). El volumen total resultante de soluciones concentradas es de 9 Litros, que luego podrá enrasarse con agua destilada de acuerdo a las especificaciones del biorreactor.
4. Ejercicio Práctico Propuesto
En un laboratorio de cultivo celular vegetal, se desea preparar un medio nutricional con tres fuentes de microelementos (\( S_1, S_2, S_3 \)) para aportar exactamente:
- \( 27 \text{mg} \) de Hierro (\( \text{e} \))
- \( 19 \text{mg} \) de Magnesio (\( \text{g} \))
- \( 16 \text{mg} \) de Cinc (\( \text{n} \))
Las concentraciones en \( \text{g/L} \) de cada elemento en las soluciones stock vienen dadas por la matriz:
Calcula la matriz inversa \( A^{-1} \) y los volúmenes en litros \( v_1, v_2, v_3 \) requeridos.
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1. Determinante:
\( \det(A) = 3(2-0) - 1(1-2) + 2(0-4) = 3(2) - 1(-1) + 2(-4) = 6 + 1 - 8 = -1 \).
2. Matriz de adjuntos y Adjunta:
\( C = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -4 \\ -1 & -1 & 2 \\ -3 & -1 & 5 \end{bmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -3 \\ 1 & -1 & -1 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} \).
3. Matriz Inversa:
\( A^{-1} = \frac{1}{-1} \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & -5 \end{bmatrix} \).
4. Solución \( \mathbf{v} = A^{-1} \mathbf{b} \):
\( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 27 \ 19 \ 16 \end{bmatrix} \Longrightarrow \mathbf{v} = \begin{bmatrix} -2(27) + 19 + 3(16) \\ -1(27) + 19 + 1(16) \\ 4(27) - 2(19) - 5(16) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -54 + 19 + 48 \\ -27 + 19 + 16 \\ 108 - 38 - 80 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 8 \\ -10 \end{bmatrix} \).
El resultado formal da \( v_3 = -10 \text{L} \). En la práctica de laboratorio no existen volúmenes negativos. Esto indica que con la combinación actual de soluciones stock no es físicamente posible alcanzar la mezcla deseada de microelementos (sistema incompatible en el dominio físicamente realizable \( v_i \ge 0 \)). Habría que cambiar la composición de las soluciones concentradas.