1. Contexto Biotecnológico y Planteamiento
En la producción biotecnológica de biocombustibles y bioplásticos a partir de microalgas (*Chlorella vulgaris*), el control del cultivo en fotobiorreactores de flujo continuo requiere modelar la transición entre distintas etapas de maduración celular.
Consideremos una población dividida en dos estadios clave de desarrollo: células jóvenes / juveniles (\(x_1\)) y células adultas / reproductoras (\(x_2\)), expresadas en unidades de \(10^4 \text{ células/mL}\). La evolución diaria de la densidad poblacional viene descrita por un sistema dinámico discreto de la forma \(\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{A} \mathbf{x}_k\), donde la matriz de transición estadiométrica \(\mathbf{A}\) es:
- \(a_{11} = 0.8\): Tasa de permanencia de las células jóvenes en la misma fase.
- \(a_{12} = 0.6\): Tasa de reproducción (generación de células jóvenes por adultas).
- \(a_{21} = 0.2\): Tasa de maduración (transición de joven a adulta).
- \(a_{22} = 0.7\): Tasa de supervivencia de las células adultas.
En el momento de la inoculación (\(k = 0\)), se introduce una población inicial desbalanceada compuesta por \(\mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 900 \\ 100 \end{bmatrix}\) (\(900 \times 10^4 \text{ cel/mL}\) jóvenes y \(100 \times 10^4 \text{ cel/mL}\) adultas).
Se solicita resolver:
- Determinar el polinomio característico y calcular los autovalores (\(\lambda_1, \lambda_2\)) de la matriz de transición \(\mathbf{A}\).
- Calcular los autovectores asociados (\(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\)) e identificar la proporción estable de fases celulares dada por el autovector dominante.
- Descomponer el estado inicial \(\mathbf{x}_0\) en la base de autovectores (\(\mathbf{x}_0 = c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2\)) y deducir la expresión explícita del cultivo en el día \(k\).
- Predecir la densidad poblacional total tras \(k = 5\) días de cultivo e interpretar el comportamiento asintótico del fotobiorreactor.
2. Fundamento Teórico y Fórmulas
Dada una matriz cuadrada \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}\), un número escalar \(\lambda\) se denomina autovalor de \(\mathbf{A}\) si existe un vector no nulo \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\) (llamado autovector) tal que: \[ \mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \iff (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0} \]
Para obtener soluciones no triviales, el sistema homogéneo exige que el determinante de la matriz de coeficientes sea nulo, generando la ecuación característica: \[ p(\lambda) = \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0 \]
Teorema de Perron-Frobenius & Descomposición Modal:
Para matrices no negativas de transición poblacional, el autovalor de mayor módulo (autovalor dominante \(\lambda_1\)) determina la tasa intrínseca de crecimiento asintótico del cultivo. Su autovector asociado \(\mathbf{v}_1\) define la distribución estable de edades/fases. La evolución del sistema en cualquier instante \(k\) se expresa exactamente como: \[ \mathbf{x}_k = \mathbf{A}^k \mathbf{x}_0 = c_1 \lambda_1^k \mathbf{v}_1 + c_2 \lambda_2^k \mathbf{v}_2 + \dots + c_n \lambda_n^k \mathbf{v}_n \]
3. Resolución Paso a Paso
1 Paso 1: Ecuación Característica y Cálculo de Autovalores
Planteamos el determinante de la matriz \((\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\): \[ \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \begin{vmatrix} 0.8 - \lambda & 0.6 \\ 0.2 & 0.7 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \]
Desarrollamos el determinante multiplicando la diagonal principal y restando la diagonal secundaria: \[ (0.8 - \lambda)(0.7 - \lambda) - (0.6)(0.2) = 0 \] \[ \lambda^2 - 0.7\lambda - 0.8\lambda + 0.56 - 0.12 = 0 \] \[ \lambda^2 - 1.5\lambda + 0.44 = 0 \]
Aplicamos la fórmula cuadrática para hallar las raíces: \[ \lambda = \frac{-(-1.5) \pm \sqrt{(-1.5)^2 - 4(1)(0.44)}}{2(1)} = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 1.76}}{2} = \frac{1.5 \pm \sqrt{0.49}}{2} = \frac{1.5 \pm 0.7}{2} \]
Autovalores obtenidos:
\(\bullet \quad \lambda_1 = \frac{1.5 + 0.7}{2} = \mathbf{1.10}\) (Autovalor dominante: crecimiento del \(10\%\) diario)
\(\bullet \quad \lambda_2 = \frac{1.5 - 0.7}{2} = \mathbf{0.40}\) (Modo transitorio de rápida amortiguación)
2 Paso 2: Cálculo de los Autovectores Asociados
a) Para el autovalor dominante \(\lambda_1 = 1.10\):
Resolvemos el sistema homogéneo \((\mathbf{A} - 1.10 \mathbf{I})\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}\): \[ \begin{bmatrix} 0.8 - 1.10 & 0.6 \\ 0.2 & 0.7 - 1.10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.3 & 0.6 \\ 0.2 & -0.4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
De la primera fila: \(-0.3 v_{11} + 0.6 v_{12} = 0 \implies v_{11} = 2 v_{12}\). Tomando \(v_{12} = 1\): \[ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \]
b) Para el autovalor transitorio \(\lambda_2 = 0.40\):
Resolvemos el sistema homogéneo \((\mathbf{A} - 0.40 \mathbf{I})\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}\): \[ \begin{bmatrix} 0.8 - 0.40 & 0.6 \\ 0.2 & 0.7 - 0.40 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.4 & 0.6 \\ 0.2 & 0.3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
De la primera fila: \(0.4 v_{21} + 0.6 v_{22} = 0 \implies 2 v_{21} = -3 v_{22}\). Tomando \(v_{22} = 2 \implies v_{21} = -3\): \[ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} \]
3 Paso 3: Descomposición del Estado Inicial y Ecuación de Evolución
Expresamos el vector poblacional de inoculación \(\mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 900 \\ 100 \end{bmatrix}\) como combinación lineal de la base de autovectores \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}\): \[ \mathbf{x}_0 = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 \iff \begin{bmatrix} 900 \\ 100 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} \]
Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: \[ \begin{cases} 2 c_1 - 3 c_2 = 900 \\ c_1 + 2 c_2 = 100 \end{cases} \]
Despejando \(c_1 = 100 - 2 c_2\) de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera: \[ 2(100 - 2 c_2) - 3 c_2 = 900 \implies 200 - 4 c_2 - 3 c_2 = 900 \implies -7 c_2 = 700 \implies c_2 = -100 \] \[ c_1 = 100 - 2(-100) = 300 \]
Ecuación explícita de la población en el día \(k\):
\[ \mathbf{x}_k = \mathbf{A}^k \mathbf{x}_0 = 300 (1.10)^k \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} - 100 (0.40)^k \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} \]4 Paso 4: Predicción a Día 5 y Análisis Asintótico
Evaluamos la ecuación poblacional para \(k = 5\) días de cultivo continuo: \[ (1.10)^5 = 1.61051, \quad (0.40)^5 = 0.01024 \]
Sustituyendo las potencias de los autovalores: \[ \mathbf{x}_5 = 300(1.61051) \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} - 100(0.01024) \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} \] \[ \mathbf{x}_5 = 483.153 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} - 1.024 \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 966.306 \\ 483.153 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3.072 \\ 2.048 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 969.378 \\ 481.105 \end{bmatrix} \]
Resultados numéricos en el día 5:
\(\bullet \quad \text{Células Jóvenes } (x_{1,5}): 969.38 \times 10^4 \text{ cel/mL} \approx \mathbf{9.69 \times 10^6 \text{ cel/mL}}\)
\(\bullet \quad \text{Células Adultas } (x_{2,5}): 481.11 \times 10^4 \text{ cel/mL} \approx \mathbf{4.81 \times 10^6 \text{ cel/mL}}\)
\(\bullet \quad \text{Densidad Poblacional Total}: 1450.49 \times 10^4 \text{ cel/mL} \approx \mathbf{1.45 \times 10^7 \text{ cel/mL}}\)
4. Resumen de Resultados e Interpretación Biotecnológica
💡 Conclusión Analítica y Operativa del Biorreactor
1. Estabilización de Fases: A pesar de que el fotobiorreactor se inoculó con un desbalance del 90% de células jóvenes, el modo transitorio (\(\lambda_2 = 0.40\)) decrece de forma exponencial exponencialmente rápida (\(0.40^5 \approx 0.0102\)). En solo 5 días, el sistema converge de manera natural hacia la estructura estable dictada por el autovector dominante \(\mathbf{v}_1 = [2, 1]^T\), fijando la población en 66.7% de células jóvenes y 33.3% de adultas.
2. Criterio de Cosecha Eficiente: Dado que la tasa de expansión asintótica es del 10% diario (\(\lambda_1 = 1.10\)), el equipo de bioprocesos puede programar purgas continuas de cosechado del 10% del volumen del biorreactor cada 24 horas a partir del día 5, garantizando un rendimiento de biomasa constante sin alterar el equilibrio fisiológico ni agotar el cultivo celular.