1. Contexto Biotecnológico y Enunciado
En la optimización de bioprocesos mediante fermentación continua, se utiliza la cepa recombinante Pichia pastoris para la producción de una proteína biofarmacéutica. El sistema de nutrientes del biorreactor se modela cuantitativamente mediante una aplicación lineal \(T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\).
El vector de entrada \(\vec{x} = (x_1, x_2, x_3)^T \in \mathbb{R}^3\) representa las concentraciones de sustrato alimentado al biorreactor (en \(\text{mmol/L}\)):
- \(x_1\): Glucosa (fuente principal de carbono)
- \(x_2\): Glutamina (fuente de nitrógeno)
- \(x_3\): Oxígeno disuelto
El vector de salida \(\vec{y} = T(\vec{x}) = (y_1, y_2, y_3)^T \in \mathbb{R}^3\) representa las tasas de generación de bioproductos al final del ciclo enzimático (en \(\text{g/L}\)):
- \(y_1\): Incremento de Biomasa celular
- \(y_2\): Proteína recombinante purificada
- \(y_3\): Metabolitos secundarios (ácidos orgánicos)
Datos Experimentales de Referencia (Base Canónica \(C = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\}\)):
Los ensayos de caracterización metabólica previa con dosis unitarias puras proporcionaron las siguientes transformaciones directas:
Cuestiones a Resolver
- Determinar la matriz asociada \(A = M_C(T)\) a la aplicación lineal respecto a la base canónica de \(\mathbb{R}^3\) y escribir la expresión explícita del vector de transformación \(T(x_1, x_2, x_3)\).
- Calcular el rendimiento de bioproductos \(\vec{y}\) obtenido al suministrar un lote de sustrato de concentración \(\vec{v} = (5, \, 1, \, 2)^T \text{ mmol/L}\).
- Determinar el Núcleo (\(\ker(T)\)) e Imagen (\(\text{Im}(T)\)) de la aplicación lineal, sus dimensiones, verificar el Teorema del Rango y la Nulidad, y concluir si el modelo metabólico es inyectivo y sobreyectivo.
- Determinar la dosis exacta de sustrato inicial \(\vec{x} = (x_1, x_2, x_3)^T\) requerida si el objetivo de producción de la planta biotecnológica es obtener exactamente \(\vec{y}_{\text{obj}} = (11, \, 12, \, 7)^T \text{ g/L}\).
2. Fundamento Teórico y Fórmulas
Una función \(T: V \to W\) entre dos espacios vectoriales es una aplicación lineal si preserva la combinación lineal de vectores. Es decir, para todo par de vectores \(\vec{u}, \vec{v} \in V\) y todo escalar \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\): \[ T(\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}) = \alpha T(\vec{u}) + \beta T(\vec{v}) \]
Matriz Asociada a la Base Canónica
Si \(C = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\}\) es la base canónica de \(\mathbb{R}^3\), la matriz asociada \(A = M_C(T)\) tiene por columnas las imágenes de los vectores de dicha base:
\[ A = \begin{bmatrix} T(\vec{e}_1) & T(\vec{e}_2) & T(\vec{e}_3) \end{bmatrix} \]La transformación de cualquier vector se calcula como: \(\vec{y} = A \vec{x}\).
Subespacios Fundamentales
Núcleo (\(\ker(T)\)): Conjunto de vectores de entrada que se anulan en la salida: \[ \ker(T) = \{\vec{x} \in \mathbb{R}^3 : A \vec{x} = \vec{0}\} \] Imagen (\(\text{Im}(T)\)): Espacio generado por las columnas de la matriz \(A\): \[ \text{Im}(T) = \{A \vec{x} : \vec{x} \in \mathbb{R}^3\} = \text{Col}(A) \]
Teorema de la Dimensión (Rango y Nulidad)
Para toda aplicación lineal \(T: V \to W\) con \(\dim(V)\) finita, se cumple rigurosamente: \[ \dim(V) = \dim(\ker(T)) + \dim(\text{Im}(T)) \] Si \(\det(A) \neq 0\), entonces \(\text{rg}(A) = 3\), el núcleo es trivial (\(\dim(\ker(T)) = 0\)), la aplicación es biyectiva y existe una única solución \(\vec{x} = A^{-1} \vec{y}\).
3. Resolución Paso a Paso
1 Paso 1: Construcción de la Matriz Asociada \(A = M_C(T)\)
Disponemos los vectores imagen de la base canónica \(T(\vec{e}_1)\), \(T(\vec{e}_2)\) y \(T(\vec{e}_3)\) en formato de columnas:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]La expresión analítica del producto matricial \(T(\vec{x}) = A \vec{x}\) resulta:
2 Paso 2: Evaluación del Rendimiento para \(\vec{v} = (5, 1, 2)^T \text{ mmol/L}\)
Sustituimos las componentes de entrada \(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 2\) en la ecuación analítica del sistema:
\[ y_1 = 1(5) + 2(1) + 1(2) = 5 + 2 + 2 = 9 \text{ g/L (Biomasa)} \]
\[ y_2 = 0(5) + 2(1) + 2(2) = 0 + 2 + 4 = 6 \text{ g/L (Proteína)} \]
\[ y_3 = 1(5) + 0(1) + 1(2) = 5 + 0 + 2 = 7 \text{ g/L (Metabolitos)} \]
El vector de producción resultante es \(\vec{y} = (9, \, 6, \, 7)^T \text{ g/L}\).
3 Paso 3: Núcleo, Imagen, Rango y Teorema de la Dimensión
Para hallar el núcleo \(\ker(T)\), resolvemos el sistema homogéneo \(A \vec{x} = \vec{0}\). Calculamos primero el determinante de la matriz \(A\):
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]Desarrollamos por los adjuntos de la primera fila:
\[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \] \[ \det(A) = 1(2 - 0) - 2(0 - 2) + 1(0 - 2) = 2 + 4 - 2 = 4 \]Análisis Álgebraico e Interpretación:
- Como \(\det(A) = 4 \neq 0\), el rango de la matriz es máximo: \(\text{rg}(A) = 3\).
- El núcleo contiene únicamente al vector nulo: \(\ker(T) = \{(0, 0, 0)^T\}\), por lo que \(\dim(\ker(T)) = 0\).
- La aplicación es inyectiva (nulidad 0).
- La imagen coincide con todo el espacio de llegada: \(\text{Im}(T) = \mathbb{R}^3\), con \(\dim(\text{Im}(T)) = 3\).
- La aplicación es sobreyectiva. Al ser inyectiva y sobreyectiva, es un isomorfismo (biyectiva).
Verificación del Teorema de la Dimensión: \[ \dim(V) = \dim(\ker(T)) + \dim(\text{Im}(T)) \implies 3 = 0 + 3 \quad \checkmark \]
4 Paso 4: Determinación de la Alimentación para \(\vec{y}_{\text{obj}} = (11, 12, 7)^T \text{ g/L}\)
Planteamos el sistema de ecuaciones lineales inhomogéneo \(A \vec{x} = \vec{y}_{\text{obj}}\):
\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 11 & \text{(Ecuación 1)} \\ 2x_2 + 2x_3 = 12 & \text{(Ecuación 2)} \\ x_1 + x_3 = 7 & \text{(Ecuación 3)} \end{cases} \]Resolvemos el sistema paso a paso mediante despeje de variables:
- De la Ecuación 3 despejamos \(x_1\): \[ x_1 = 7 - x_3 \]
- De la Ecuación 2 simplificamos dividiendo entre 2 y despejamos \(x_2\): \[ x_2 + x_3 = 6 \implies x_2 = 6 - x_3 \]
- Sustituimos ambas expresiones en la Ecuación 1: \[ (7 - x_3) + 2(6 - x_3) + x_3 = 11 \] \[ 7 - x_3 + 12 - 2x_3 + x_3 = 11 \] \[ 19 - 2x_3 = 11 \implies 2x_3 = 8 \implies x_3 = 4 \text{ mmol/L} \]
- Sustituimos el valor de \(x_3 = 4\) para calcular \(x_1\) y \(x_2\): \[ x_1 = 7 - 4 = 3 \text{ mmol/L} \] \[ x_2 = 6 - 4 = 2 \text{ mmol/L} \]
4. Resumen de Resultados e Interpretación Biotecnológica
💡 Conclusión del Análisis de Control de Procesos
Dado que la matriz asociada \(A\) posee determinante no nulo (\(\det(A) = 4\)), la aplicación lineal \(T\) representa una transformación completamente invertible. Desde el punto de vista biotecnológico, esto implica dos propiedades operativas fundamentales:
- Ausencia de combinaciones ciegas (Inyectividad): No existen combinaciones no nulas de sustratos que produzcan rendimiento cero en el biorreactor (\(\ker(T) = \{\vec{0}\}\)).
- Controlabilidad total (Sobreyectividad): Cualquier perfil de bioproductos deseado \(\vec{y}_{\text{obj}}\) en \(\mathbb{R}^3\) puede lograrse de forma **única** y predecible regulando la entrada de nutrientes mediante el cálculo matricial directo \(\vec{x} = A^{-1} \vec{y}_{\text{obj}}\).