Cálculo Diferencial e Integral
Ejercicio práctico: Límites de funciones de una variable real en la dinámica de biorreactores
Módulo: Análisis Funcional
Tema: Límites y Continuidad
1. Contexto Biotecnológico y Planteamiento del Problema
En el escalado de bioprocesos industriales, el modelado matemático mediante funciones continuas permite predecir el comportamiento estacionario de los cultivos, evaluar la sensibilidad de las rutas metabólicas ante inductores enzimáticos y detectar transiciones críticas en la respiración celular.
Un grupo de investigación supervisa un cultivo continuo de Escherichia coli recombinante optimizado para la producción de insulina humana. Para asegurar la eficiencia económica y operativa del biorreactor, se estudian tres variables clave:
A) Acumulación de Insulina \(P(t)\)
La concentración de proteína en el medio (\(\text{g/L}\)) en función del tiempo \(t\) (horas) sigue la cinética:
\[ P(t) = \frac{15 t^2 + 8t}{2 t^2 + 5t + 12} \]
B) Inducción Enzimática \(R(x)\)
La respuesta celular relativa al variar la concentración de IPTG respecto al nivel ideal (\(x = C - C_{\text{óptimo}}\) en \(\text{mM}\)) es:
\[ R(x) = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^2 + 2x} \]
C) Consumo de Oxígeno \(Q_O(S)\)
La tasa específica de consumo de \(\text{O}_2\) (\(\text{mmol O}_2/\text{g}\cdot\text{h}\)) según la concentración de glucosa \(S\) (\(\text{g/L}\)) es:
\[ Q_O(S) = \begin{cases} \frac{6S}{S + 1} & \text{si } 0 \le S < 2 \\[4pt] \frac{S^2 + 8}{S + 3} & \text{si } S \ge 2 \end{cases} \]
Cuestiones solicitadas al departamento de bioprocesos:
- Determinar la concentración máxima asintótica de proteína acumulada cuando la fermentación se opera de forma continuada a largo plazo (\(\lim_{t \to \infty} P(t)\)).
- Calcular el límite de la tasa de respuesta metabólica cuando la adición de inductor se aproxima exactamente a la concentración óptima (\(\lim_{x \to 0} R(x)\)), resolviendo la indeterminación algebraica resultante.
- Evaluar la continuidad de la tasa de consumo de oxígeno \(Q_O(S)\) en la concentración crítica de sustrato \(S = 2 \text{ g/L}\) mediante el análisis de sus límites laterales.
2. Fundamento Matemático y Herramientas Analíticas
1. Comportamiento Asintótico en el Infinito (\(t \to \infty\))
Para funciones racionales de la forma \(f(t) = \frac{P(t)}{Q(t)}\), el límite en el infinito refleja el estado estacionario del sistema biológico. Si los polinomios tienen el mismo grado \(n\), el límite coincide con el cociente de sus coeficientes principales: \[ \lim_{t \to \infty} \frac{a_n t^n + \dots + a_0}{b_n t^n + \dots + b_0} = \frac{a_n}{b_n} \]
2. Indeterminación \(\frac{0}{0}\) y Racionalización por Conjugado
Cuando una función racional con radicales presenta una forma indeterminada \(\frac{0}{0}\) al evaluar \(x \to a\), se multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del término radical (\(\sqrt{A} + B\)) aprovechando la identidad del producto notable: \[ (\sqrt{A} - B)(\sqrt{A} + B) = A - B^2 \] Esta transformación permite simplificar el factor indeterminado \((x - a)\).
3. Límites Laterales y Criterio de Continuidad
Una función a trozos \(f(S)\) es continua en un punto de transición \(S = c\) si y solo si existen los límites laterales, son iguales entre sí y coinciden con el valor asignado a la función en dicho punto: \[ \lim_{S \to c^-} f(S) = \lim_{S \to c^+} f(S) = f(c) \] Si \(\lim_{S \to c^-} f(S) \neq \lim_{S \to c^+} f(S)\), la función presenta una discontinuidad de salto finito.
3. Resolución Detallada Paso a Paso
1 Apartado A: Límite de la Producción Asintótica de Insulina (\(t \to \infty\))
Queremos evaluar el límite a largo plazo de la concentración de proteína recombinante: \[ L_1 = \lim_{t \to \infty} \frac{15 t^2 + 8t}{2 t^2 + 5t + 12} \]
Al sustituir directamente \(t = \infty\), obtenemos la indeterminación del tipo \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\). Dividimos el numerador y el denominador por la máxima potencia de \(t\) presente, que es \(t^2\): \[ L_1 = \lim_{t \to \infty} \frac{\frac{15 t^2}{t^2} + \frac{8t}{t^2}}{\frac{2 t^2}{t^2} + \frac{5t}{t^2} + \frac{12}{t^2}} = \lim_{t \to \infty} \frac{15 + \frac{8}{t}}{2 + \frac{5}{t} + \frac{12}{t^2}} \]
Aplicando las propiedades de los límites cuando \(t \to \infty\), donde \(\lim_{t \to \infty} \frac{k}{t^n} = 0\):
2 Apartado B: Respuesta Relativa en la Concentración Óptima de Inductor (\(x \to 0\))
Calculamos el límite de respuesta celular cuando la diferencia de inducción \(x\) tiende a cero: \[ L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^2 + 2x} \]
La evaluación directa en \(x = 0\) genera: \[ R(0) = \frac{\sqrt{0 + 9} - 3}{0^2 + 2(0)} = \frac{3 - 3}{0} = \left[\frac{0}{0}\right] \quad \text{(Indeterminación)} \]
Para eliminar la indeterminación, multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador \((\sqrt{x + 9} + 3)\) y factorizamos el denominador: \[ L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 9} - 3)(\sqrt{x + 9} + 3)}{x(x + 2)(\sqrt{x + 9} + 3)} \]
Aplicando la diferencia de cuadrados en el numerador: \[ L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{(x + 9) - 9}{x(x + 2)(\sqrt{x + 9} + 3)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(x + 2)(\sqrt{x + 9} + 3)} \]
Dado que \(x \neq 0\) en el proceso de límite, cancelamos el factor \(x\) en numerador y denominador: \[ L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 2)(\sqrt{x + 9} + 3)} \]
Evaluando en \(x = 0\):
\[ L_2 = \frac{1}{(0 + 2)(\sqrt{0 + 9} + 3)} = \frac{1}{2 \cdot (3 + 3)} = \frac{1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{12} \approx 0.0833 \text{ h}^{-1}\text{mM}^{-1} \]3 Apartado C: Análisis de Continuidad y Límites Laterales en el Consumo de Oxígeno (\(S = 2 \text{ g/L}\))
Para verificar si la función de consumo respiratorio \(Q_O(S)\) es continua en \(S = 2 \text{ g/L}\), calculamos sus límites laterales por la izquierda y por la derecha.
1. Límite lateral por la izquierda (\(S \to 2^-\)):
Utilizamos la primera rama de la función (\(S < 2\)): \[ \lim_{S \to 2^-} Q_O(S) = \lim_{S \to 2^-} \frac{6S}{S + 1} = \frac{6(2)}{2 + 1} = \frac{12}{3} = 4 \text{ mmol O}_2/\text{g}\cdot\text{h} \]
2. Límite lateral por la derecha (\(S \to 2^+\)):
Utilizamos la segunda rama de la función (\(S \ge 2\)): \[ \lim_{S \to 2^+} Q_O(S) = \lim_{S \to 2^+} \frac{S^2 + 8}{S + 3} = \frac{2^2 + 8}{2 + 3} = \frac{4 + 8}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ mmol O}_2/\text{g}\cdot\text{h} \]
3. Valor de la función en el punto \(S = 2\):
\[ Q_O(2) = \frac{2^2 + 8}{2 + 3} = 2.4 \text{ mmol O}_2/\text{g}\cdot\text{h} \]
Comparación y Conclusión de Continuidad:
\[ \lim_{S \to 2^-} Q_O(S) = 4 \quad \neq \quad \lim_{S \to 2^+} Q_O(S) = 2.4 \]Como los límites laterales existen pero no son iguales, la función no es continua en \(S = 2 \text{ g/L}\). Presenta una discontinuidad de salto finito cuya magnitud es: \[ |\Delta Q_O| = |4 - 2.4| = 1.6 \text{ mmol O}_2/\text{g}\cdot\text{h} \]
4. Resumen de Resultados e Interpretación Biotecnológica
💡 Conclusiones del Análisis en el Biorreactor
- Saturación de Producto: La concentración de insulina tiende asintóticamente a \(7.5 \text{ g/L}\). Prolongar la fermentación más allá de 24 horas genera un rendimiento marginal decreciente, por lo que se recomienda programar la cosecha continua al alcanzar el \(95\%\) del límite teórico.
- Estabilidad de la Inducción: La resolución del límite en \(x = 0\) demuestra que la respuesta del promotor recombinante ante pequeñas fluctuaciones de IPTG es acotada (\(0.0833 \text{ h}^{-1}\text{mM}^{-1}\)), descartando un comportamiento hiperbólico o de toxicidad metabólica inmediata.
- Efecto de Represión Metabólica (Efecto Crabtree): El salto discontinuo de \(4.0\) a \(2.4 \text{ mmol O}_2/\text{g}\cdot\text{h}\) al cruzar la barrera de \(S = 2 \text{ g/L}\) evidencia un cambio repentino hacia el metabolismo fermentativo. Mantener la glucosa por debajo de \(2 \text{ g/L}\) optimiza la transferencia de oxígeno y reduce la acumulación de acetato inhibidor.