An谩lisis de Funciones Multivariables
Ejercicio pr谩ctico: Evaluaci贸n de Productividad y Curvas de Nivel en Bioprocesos
M贸dulo: C谩lculo Multivariable
Tema: Funciones de varias variables reales
1. Contexto Biotecnol贸gico y Enunciado
En un proceso de fermentaci贸n para la producci贸n de un biof谩rmaco (eritropoyetina recombinante) mediante un cultivo de c茅lulas CHO (Chinese Hamster Ovary), la tasa diaria de producci贸n de prote铆na \(P\) (medida en \(\text{mg}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{d}^{-1}\)) depende de dos variables operativas ajustables en el biorreactor:
- \(x\): Concentraci贸n de glucosa en el medio de alimentaci贸n (\(\text{g/L}\)).
- \(y\): Flujo de aireaci贸n con ox铆geno disuelto (\(\text{L/min}\)).
A partir de ensayos de laboratorio, el equipo de bioprocesos ha establecido el siguiente modelo emp铆rico de producci贸n:
Con el fin de analizar la respuesta del sistema ante distintas combinaciones de nutrientes y aireaci贸n, la planta piloto requiere responder las siguientes preguntas operativas:
Apartados a resolver:
- Evaluaci贸n de condiciones de operaci贸n: Calcular la productividad obtenida en dos condiciones de trabajo: el Lote A \((x_1 = 10\text{ g/L}, y_1 = 5\text{ L/min})\) y el Lote B \((x_2 = 15\text{ g/L}, y_2 = 8\text{ L/min})\).
- An谩lisis de variaci贸n de rendimiento: Determinar el incremento absoluto \(\Delta P\) y el porcentaje de variaci贸n relativo al cambiar la operaci贸n del Lote A al Lote B.
- Dominio f铆sico de operaci贸n: Definir el dominio biol贸gicamente realizable \(D \subset \mathbb{R}^2\), considerando las restricciones no negativas de los insumos y la condici贸n de producci贸n positiva \(P(x, y) > 0\).
- Ecuaci贸n de Isol铆nea (Curva de nivel): Obtener la funci贸n expl铆cita \(y = f(x)\) de la curva de nivel para una productividad fija de \(P_0 = 105\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{d}^{-1}\). Calcular qu茅 flujo de aireaci贸n \(y\) se requiere si la glucosa se reduce a \(x = 5\text{ g/L}\) manteniendo dicha productividad.
2. Fundamento Te贸rico y F贸rmulas
Funci贸n de Varias Variables Reales
Una funci贸n escalar de dos variables reales es una regla de correspondencia \(f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) que asigna a cada par ordenado \((x, y)\) de un dominio \(D\) un 煤nico n煤mero real \(z = f(x, y)\).
En este contexto, la funci贸n asigna a cada par de par谩metros operativos \((x, y)\) un valor de productividad del bioproceso.
Variaci贸n Absoluta y Relativa
El cambio en la respuesta del sistema entre dos puntos \(A\) y \(B\) se mide como: \[ \Delta P = P(B) - P(A) \] La variaci贸n porcentual respecto al estado de referencia inicial se expresa como: \[ \text{Var}\% = \left( \frac{\Delta P}{P(A)} \right) \times 100\% \]
Dominio de Definici贸n (\(D\))
Es el subconjunto de puntos del plano \(\mathbb{R}^2\) para los cuales la funci贸n est谩 definida matem谩ticamente y cumple las restricciones f铆sicas del sistema: \[ D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \ge 0, \, y \ge 0, \, P(x, y) > 0 \} \]
Curvas de Nivel (Isol铆neas)
La curva de nivel de valor \(k\) es el conjunto de puntos \((x, y)\) en el dominio donde la funci贸n toma una constante \(k\): \[ C_k = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid f(x, y) = k \} \]
En bioprocesos, estas curvas representan estados de iso-productividad, permitiendo intercambiar insumos sin alterar la producci贸n.
3. Resoluci贸n Paso a Paso
1 Paso 1: Evaluaci贸n de Productividad en los Lotes A y B
Sustituimos las coordenadas del Lote A \((x_1 = 10, y_1 = 5)\) en la funci贸n de productividad \(P(x, y) = 4x + 10y - 0.2xy + 25\): \[ P(10, 5) = 4(10) + 10(5) - 0.2(10)(5) + 25 \] \[ P(10, 5) = 40 + 50 - 10 + 25 = 105 \text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{d}^{-1} \]
Sustituimos las coordenadas del Lote B \((x_2 = 15, y_2 = 8)\): \[ P(15, 8) = 4(15) + 10(8) - 0.2(15)(8) + 25 \] \[ P(15, 8) = 60 + 80 - 24 + 25 = 141 \text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{d}^{-1} \]
Resultados de Productividad:
\[ P(A) = 105 \text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{d}^{-1} \] \[ P(B) = 141 \text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{d}^{-1} \]2 Paso 2: C谩lculo del Incremento Neto y Porcentaje de Variaci贸n
Calculamos la variaci贸n absoluta de la tasa de producci贸n entre la condici贸n A y la B: \[ \Delta P = P(B) - P(A) = 141 - 105 = 36 \text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{d}^{-1} \]
Calculamos el incremento relativo en porcentaje respecto a la condici贸n del Lote A: \[ \text{Var}\% = \left( \frac{\Delta P}{P(A)} \right) \times 100\% = \left( \frac{36}{105} \right) \times 100\% \approx 0.342857 \times 100\% \approx 34.29\% \]
3 Paso 3: Definici贸n del Dominio F铆sico y Biol贸gico
Por razones f铆sicas, la concentraci贸n de glucosa y la aireaci贸n no pueden ser negativas: \[ x \ge 0, \quad y \ge 0 \]
Asimismo, para mantener la viabilidad del cultivo celular se exige que la tasa de producci贸n sea estrictamente positiva (\(P(x, y) > 0\)): \[ 4x + 10y - 0.2xy + 25 > 0 \implies 4x + y(10 - 0.2x) + 25 > 0 \]
4 Paso 4: Curva de Nivel para \(P_0 = 105\) y Alternativa Operativa
Igualamos la funci贸n de producci贸n al nivel objetivo \(P(x, y) = 105\): \[ 4x + 10y - 0.2xy + 25 = 105 \] Restamos \(25\) en ambos miembros: \[ 4x + 10y - 0.2xy = 80 \] Agrupamos los t茅rminos que contienen la variable \(y\): \[ y(10 - 0.2x) = 80 - 4x \] Despejando \(y\) de forma expl铆cita en funci贸n de \(x\): \[ y = \frac{80 - 4x}{10 - 0.2x} \]
Para conocer el flujo de aireaci贸n compensatorio \(y\) necesario si la concentraci贸n de glucosa disminuye a \(x = 5\text{ g/L}\), evaluamos la ecuaci贸n de la isol铆nea en dicho punto: \[ y = \frac{80 - 4(5)}{10 - 0.2(5)} = \frac{80 - 20}{10 - 1} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ L/min} \]
Ecuaci贸n de Isol铆nea y Configuraci贸n Equivalente:
\[ y(x) = \frac{80 - 4x}{10 - 0.2x} \] \[ \text{Para } x = 5\text{ g/L} \implies y \approx 6.67\text{ L/min} \]4. Resumen de Resultados e Interpretaci贸n Biotecnol贸gica
馃挕 Conclusi贸n del An谩lisis Biotecnol贸gico
El estudio de la funci贸n multivariable permite comprender la interacci贸n entre la disponibilidad de sustrato y la oxigenaci贸n en el biorreactor. Pasar de las condiciones del Lote A a las del Lote B incrementa la tasa de producci贸n de la prote铆na en un \(34.29\%\) (de \(105.0\) a \(141.0 \text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{d}^{-1}\)).
Adem谩s, el uso de las curvas de nivel (isol铆neas de producci贸n) demuestra ser una herramienta fundamental de optimizaci贸n de costos: si la glucosa se reduce a la mitad (\(5\text{ g/L}\)), es posible mantener exactamente la misma productividad objetivo de \(105.0\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{d}^{-1}\) incrementando la aireaci贸n a \(6.67\text{ L/min}\) (frente a los \(5.0\text{ L/min}\) iniciales), compensando la menor disponibilidad de sustrato mediante un mayor soporte de ox铆geno.