Cálculo Multivariable Aplicado
Ejercicio práctico: Derivadas Parciales y Análisis de Sensibilidad en Fermentación Continua
Módulo: Cálculo Diferencial
Tema: Derivadas Parciales
1. Contexto Biotecnológico y Enunciado
En la producción biotecnológica de proteínas recombinantes mediante cultivo continuo de Escherichia coli, la tasa específica de crecimiento celular \(\mu\) (expresada en \(\text{h}^{-1}\)) depende fundamentalmente de la concentración de sustrato limitante (glucosa, \(S\), en \(\text{g/L}\)) y de la temperatura operacional del biorreactor (\(T\), en \({}^\circ\text{C}\)).
Un modelo cinético acoplado de tipo Monod-Haldane modificado térmicamente para la cepa bioprocesadora establece la relación multivariable:
Actualmente, la planta piloto opera en un estado estacionario secundario a una concentración de sustrato de \(S_0 = 6 \text{ g/L}\) y una temperatura subóptima de \(T_0 = 32^\circ\text{C}\).
- Determinar la tasa específica de crecimiento celular \(\mu(6, 32)\) en las condiciones actuales de operación.
- Obtener las funciones explícitas de las derivadas parciales de primer orden \(\frac{\partial \mu}{\partial S}(S, T)\) y \(\frac{\partial \mu}{\partial T}(S, T)\).
- Evaluar las derivadas parciales en el punto de trabajo \((6, 32)\), indicando sus unidades físicas e interpretando cuál de las dos variables tiene un mayor impacto marginal sobre el crecimiento.
- Utilizar la diferencial total \(d\mu\) para estimar la nueva tasa de crecimiento si la concentración de sustrato aumenta en \(\Delta S = +0.5 \text{ g/L}\) y la temperatura del biorreactor se incrementa en \(\Delta T = +1.0^\circ\text{C}\). Compare la estimación lineal con el valor real recalculado.
2. Fundamento Teórico y Fórmulas
Dada una función de dos variables independientes \(f(x, y)\), la derivada parcial respecto a \(x\) mide la tasa instantánea de cambio de \(f\) cuando \(x\) varía y la variable \(y\) se mantiene constante (principio ceteris paribus): \[ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} \]
Análogamente, la derivada parcial respecto a \(y\) mide la respuesta de la función ante variaciones en \(y\) manteniendo \(x\) constante: \[ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y} \]
Reglas de Derivación Clave Aplicadas:
- Regla del Cociente: \(\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\)
- Regla de la Cadena: \(\frac{d}{dT}\left[(T - c)^2\right] = 2(T - c)\)
- Diferencial Total (Aproximación Lineal): Para pequeños incrementos \(\Delta S\) y \(\Delta T\), la variación aproximada \(\Delta \mu\) se obtiene mediante: \[ d\mu = \left.\frac{\partial \mu}{\partial S}\right|_{(S_0, T_0)} \cdot \Delta S + \left.\frac{\partial \mu}{\partial T}\right|_{(S_0, T_0)} \cdot \Delta T \]
3. Resolución Paso a Paso
1 Paso 1: Tasa de Crecimiento en las Condiciones Iniciales \((S_0, T_0) = (6, 32)\)
Sustituimos directamente los valores operacionales \(S = 6 \text{ g/L}\) y \(T = 32^\circ\text{C}\) en el modelo de la función \(\mu(S, T)\): \[ \mu(6, 32) = \frac{1.2 \cdot (6)}{4 + 6} \cdot \left[ 1 - 0.01 \cdot (32 - 37)^2 \right] \]
Calculamos los factores independientemente:
- Factor de nutrición por sustrato: \(\frac{7.2}{10} = 0.72\)
- Factor de penalización térmica: \(1 - 0.01 \cdot (-5)^2 = 1 - 0.01 \cdot 25 = 1 - 0.25 = 0.75\)
2 Paso 2: Obtención de la Derivada Parcial Respecto al Sustrato \(\frac{\partial \mu}{\partial S}\)
Al derivar parcialmente respecto a \(S\), la variable \(T\) actúa como una constante. Por lo tanto, el término entre corchetes \(\left[ 1 - 0.01(T - 37)^2 \right]\) es un factor constante multiplicativo: \[ \frac{\partial \mu}{\partial S} = \left[ 1 - 0.01(T - 37)^2 \right] \cdot \frac{\partial}{\partial S} \left( \frac{1.2 S}{4 + S} \right) \]
Aplicamos la regla del cociente a la función del sustrato \(g(S) = \frac{1.2 S}{4 + S}\): \[ \frac{\partial}{\partial S} \left( \frac{1.2 S}{4 + S} \right) = \frac{(1.2)(4 + S) - (1.2 S)(1)}{(4 + S)^2} = \frac{4.8 + 1.2S - 1.2S}{(4 + S)^2} = \frac{4.8}{(4 + S)^2} \]
3 Paso 3: Obtención de la Derivada Parcial Respecto a la Temperatura \(\frac{\partial \mu}{\partial T}\)
Al derivar parcialmente respecto a \(T\), la concentración \(S\) se mantiene constante, por lo que el cociente \(\frac{1.2 S}{4 + S}\) es constante: \[ \frac{\partial \mu}{\partial T} = \frac{1.2 S}{4 + S} \cdot \frac{\partial}{\partial T} \left[ 1 - 0.01(T - 37)^2 \right] \]
Derivamos el término térmico aplicando la regla de la cadena: \[ \frac{\partial}{\partial T} \left[ 1 - 0.01(T - 37)^2 \right] = -0.01 \cdot 2(T - 37) \cdot (1) = -0.02(T - 37) \]
4 Paso 4: Evaluación Cuantitativa de las Derivadas Parciales e Interpretación de Sensibilidad
Evaluamos ambas derivadas en el punto operacional \((S_0, T_0) = (6, 32)\):
Sensibilidad al Sustrato (\(\partial \mu / \partial S\)):
\[ \left.\tfrac{\partial \mu}{\partial S}\right|_{(6,32)} = \tfrac{4.8 \cdot [1 - 0.01(32 - 37)^2]}{(4 + 6)^2} = \mathbf{0.036 \text{ h}^{-1} / (\text{g/L})} \]Sensibilidad a la Temperatura (\(\partial \mu / \partial T\)):
\[ \left.\tfrac{\partial \mu}{\partial T}\right|_{(6,32)} = -\tfrac{0.024 \cdot (6) \cdot (32 - 37)}{4 + 6} = \mathbf{0.072 \text{ h}^{-1} / {}^\circ\text{C}} \]Interpretación Física y Comparativa:
• Por cada \(\text{g/L}\) adicional de glucosa, la tasa de crecimiento celular aumenta en \(0.036 \text{ h}^{-1}\).
• Por cada \({}^\circ\text{C}\) de incremento de temperatura hacia el óptimo de \(37^\circ\text{C}\), la tasa de crecimiento sube \(0.072 \text{ h}^{-1}\).
• Conclusión de sensibilidad: La temperatura ejerce exactamente el doble de impacto directo sobre el crecimiento (\(0.072\) vs \(0.036\)) que la concentración de sustrato en este punto operacional.
5 Paso 5: Estimación Mediante la Diferencial Total vs. Valor Exacto
Para los incrementos planteados \(\Delta S = +0.5 \text{ g/L}\) y \(\Delta T = +1.0^\circ\text{C}\), calculamos la diferencial total \(d\mu\): \[ d\mu = \left.\frac{\partial \mu}{\partial S}\right|_{(6,32)} \cdot \Delta S + \left.\frac{\partial \mu}{\partial T}\right|_{(6,32)} \cdot \Delta T \] \[ d\mu = (0.036 \text{ h}^{-1}/(\text{g/L})) \times (0.5 \text{ g/L}) + (0.072 \text{ h}^{-1}/{}^\circ\text{C}) \times (1.0 {}^\circ\text{C}) \] \[ d\mu = 0.018 + 0.072 = \mathbf{0.090 \text{ h}^{-1}} \]
Así, la tasa de crecimiento estimativa ajustada es: \[ \mu_{\text{estimada}}(6.5, 33) = \mu(6, 32) + d\mu = 0.540 + 0.090 = \mathbf{0.630 \text{ h}^{-1}} \]
Verificación por cálculo exacto: \[ \mu_{\text{real}}(6.5, 33) = \frac{1.2 \cdot 6.5}{4 + 6.5} \left[ 1 - 0.01 (33 - 37)^2 \right] = \frac{7.8}{10.5} \cdot [1 - 0.16] = 0.742857 \cdot 0.84 = \mathbf{0.624 \text{ h}^{-1}} \]
El error relativo del modelo lineal es de solo \(\frac{|0.630 - 0.624|}{0.624} \times 100 \approx 0.96\%\), lo que confirma la validez de la aproximación diferencial local.
4. Resumen de Resultados e Interpretación Bioprocesal
💡 Conclusión del Análisis de Ingeniería de Bioprocesos
El análisis vectorial de derivadas parciales demuestra de forma objetiva que el cultivo se encuentra en un régimen con limitación térmica prioritaria. En la condición de operación actual (\(T=32^\circ\text{C}\)), aumentar la temperatura en apenas \(1^\circ\text{C}\) genera un beneficio cinético equivalente a dosificar \(2.0 \text{ g/L}\) adicionales de glucosa.
Recomendación técnica para planta: Priorizar la optimización del sistema de intercambio de calor de la camisa del biorreactor antes de incrementar el flujo de alimentación de sustrato, maximizando el rendimiento biomasa-producto con el menor coste operativo de materia prima.