Ejer_integral

Ejercicio

¿Cuál es el valor de la integral doble \(\iint_{R}\,(y\,\sin(xy)) dA\) donde R es la región acotada \(x\in[0,2]\) y \(y\in[0,\pi]\)?

Esta integral nos presenta un caso donde es pertinente elegir la variable de integración primera. Veamos que el mismo maxima tiene problemas según decidamos \[\int_{0}^2\int_{0}^\pi\,(y\,\sin(xy)) dy\,dx\] o \[\int_{0}^\pi\int_{0}^2\,(y\sin(xy)) dx\,dy\]

(%i2)

integrate( integrate( y * sin( x * y), y, 0, %pi), x, 0, 2) ;
integrate( integrate( y * sin( x * y), x, 0, 2), y, 0, %pi) ;

\begin{matrix} (%o1) & \int_{0}^{2} \frac{\sin (π x) - π x \cos (π x)}{x^{2}} d x \end{matrix}

\begin{matrix} (%o2) & π \end{matrix}

Esto es debido al cálculo de la integral primer que es más difícil. Veamos cómo lo hacemos con la segunda integral; es decir, realicemos \[\int_{0}^\pi\int_{0}^2\,(y\, \sin(xy)) dx\,dy\] En este caso encontrar la primitiva \[\int (y\,\sin(xy)) dx\] es más sencillo:

(%i3)

define( F( x), integrate( y * sin( x * y), x)) ;

\begin{matrix} (%o3) & F (x) := - \cos (x y) \end{matrix}

Calcular la integral definida es aplicar la regla de Barrow \[\int_{0}^2 (y\,\sin(xy)) dx=F(2)-F(0)\]

(%i4)

F( 2) - F( 0) ;

\begin{matrix} (%o4) & 1 - \cos (2 y) \end{matrix}

Ahora resolvemos la siguiente integral: \[\int_{0}^\pi (F(2)-F(0))dy\]

(%i5)

define( G( y), integrate( F( 2) - F( 0), y)) ;

\begin{matrix} (%o5) & G (y) := y - \frac{\sin (2 y)}{2} \end{matrix}

Y aplicamos la regla de Barrow, una vez más, para obtener el resultado buscado:

(%i6)

G( %pi) - G( 0) ;

\begin{matrix} (%o6) & π \end{matrix}

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