Ejer_ecuacion_diferencial5

Ejercicio

Consideremos que el crecimiento una determinada población se rige por el modelo logístico \({\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=0.08P\left(1-{\frac {P}{1000}}\right)}\), con \(P(0)=100\). ¿En qué momento la población llega a 900?

Planteemos la ecuación diferencial con las condiciones señaladas:

(%i2)

edo : ' diff( P, t) = 0 . 08 * P *( 1 - P / 10 ^ 3) ;
ode2( edo, P, t) ;

\begin{matrix} (edo) & \frac{d}{d t} P = 0.08 (1 - \frac{P}{1000}) P \end{matrix}

\begin{matrix} (%o2) & \frac{25 \log (P) - 25 \log (P - 1000)}{2} = t + %c \end{matrix}

Aplicamos la condición del valor inicial:

(%i3)

ic1( %, P = 100, t = 0) ;

\begin{matrix} (%o3) & \frac{25 \log (P) - 25 \log (P - 1000)}{2} = \frac{2 t + 25 \log (100) - 25 \log (- 900)}{2} \end{matrix}

Simplificamos la expresión y la damos en función de P:

(%i4)

solve( P /( P - 10 ^ 3) =( - 1 / 9) * %e ^( 2 * t / 25), P) ;

\begin{matrix} (%o4) & [P = \frac{1000 {%e}^{\frac{2 t}{25}}}{{%e}^{\frac{2 t}{25}} + 9}] \end{matrix}

(%i5)

define( P( t), ev( P, %)) ;

\begin{matrix} (%o5) & P (t) := \frac{1000 {%e}^{\frac{2 t}{25}}}{{%e}^{\frac{2 t}{25}} + 9} \end{matrix}

(%i6)

solve( P( t) = 900, t) ;

\begin{matrix} (%o6) & [t = 25 \log (- 9), t = 25 \log (9)] \end{matrix}

Para nuestra solución escogemos la solución real:

(%i7)

float( 25 * log( 9)) ;

\begin{matrix} (%o7) & 54.93061443340549 \end{matrix}

Es decir, aproximadamente en \(t=55\)

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