Ejercicio

El número de bacterias en un cultivo viene dado por una solución de la ecuación \[y'=2y,\] siendo \(y\) una función que depende de la variable independiente \(t\) (que no aparece explícitamente), que representa el tiempo medido en horas. Supongamos que se realiza un experimento comenzando con una población de 100 bacterias en el instante \(t=0\). ¿Cuál es el número de bacterias pasadas cuatro horas del comienzo del experimento?.

La ecuación que nos plantean indica que \[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=2y\Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{y}=2\mathrm{d} t\Rightarrow \int \frac{\mathrm{d} y}{y}=2\int \mathrm{d} t\Rightarrow\ln y=2t+cte\Rightarrow y=c\ e^{2t}, c>0\]

(%i1) /* definimos la función */
y( t) : = c * %e ^( 2 * t) ;
(%o1) y ⁡ ( t ) := c ⁢ %e 2 ⁢ t

Como sabemos que comenzamos con una población de 100 bacterias en el instante \(t=0\), es \(y(0)=100\):

(%i2) solve( y( 0) = 100, c) ;
(%o2) [ c = 100 ]
(%i3) /* así nuestra función es : */
define( y( t), ev( y( t), %)) ;
(%o3) y ⁡ ( t ) := 100 ⁢ %e 2 ⁢ t
(%i4) /* pasadas cuatro horas del comienzo del experimento, el número de bacterias será */
y( 4) ;
(%o4) 100 ⁢ %e 8
(%i5) float( %) ;
(%o5) 298095.7987041728

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