Ejercicio

Sea la matriz A=[[3,1,0,0],[3,1,0,0],[0,0,1,1],[0,0,1,1]], ¿cuál es la traza de la matriz \(P.P^t\), tal que AP=PD, siendo D la matriz diagonal formada por los autovalores en orden de menor a mayor?
(%i2) A : matrix ( [ 3 , 1 , 0 , 0 ] , [ 3 , 1 , 0 , 0 ] , [ 0 , 0 , 1 , 1 ] , [ 0 , 0 , 1 , 1 ] ) $
[ vals , vecs ] : eigenvectors ( A ) ;

\[\operatorname{ }\left[ \left[ \left[ 0\operatorname{,}2\operatorname{,}4\right] \operatorname{,}\left[ 2\operatorname{,}1\operatorname{,}1\right] \right] \operatorname{,}\left[ \left[ \left[ 1\operatorname{,}-3\operatorname{,}0\operatorname{,}0\right] \operatorname{,}\left[ 0\operatorname{,}0\operatorname{,}1\operatorname{,}-1\right] \right] \operatorname{,}\left[ \left[ 0\operatorname{,}0\operatorname{,}1\operatorname{,}1\right] \right] \operatorname{,}\left[ \left[ 1\operatorname{,}1\operatorname{,}0\operatorname{,}0\right] \right] \right] \right] \]

La matriz P estará formada por los autovectores. Observar que el autovalor 0 tiene multiplicidad algebraica 2, pero geométrica 2; luego los dos vectores tendrán que aparecer en la matriz P. La traza de la matriz P si cambiaría los intercabiamos; sin embargo, la traza del producto \(P.P^t\) no.
(%i4) P : transpose ( matrix ( vecs [ 1 ] [ 1 ] , vecs [ 1 ] [ 2 ] , vecs [ 2 ] [ 1 ] , vecs [ 3 ] [ 1 ] ) ) ;
mat_trace ( P . transpose ( P ) ) ;

\[\operatorname{ }\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1\\ -3 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\end{pmatrix}\]

\[\operatorname{ }16\]

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