Ejer_autovectores

Ejercicio

Sea A=[[3,1,0],[1,3,0],[0,0,1]], y P la matriz formada por los autovectores(en columna) de la matriz A. ¿Cuánto vale la traza de la matriz $P.P^t$?

Calculemos los autovalores y sus autovectores correspondientes, sin utilizar las funciones de maxima. Primero necesitamos resolver la ecuación característica:

(%i1)

load ( "eigen") $

(%i4)

A : matrix([ 3, 1, 0],[ 1, 3, 0],[ 0, 0, 1]) $
ecu_caract : expand( determinant( A - x * ident( 3))) = 0 ;
solve( ecu_caract,[ x]) ;

\begin{matrix} (ecu_caract) & - x^{3} + 7 x^{2} - 14 x + 8 = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} (%o4) & [x = 2, x = 4, x = 1] \end{matrix}

Así pues, los valores propios son 1, 2 y 4.
Para determinar el autovector asociado al autovalor 1, resolvemos el sistema

(%i5)

print(( A - 1 * ident( 3)), covect([ x, y, z]) = covect([ 0, 0, 0])) $

\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \end{matrix}

(%i7)

ecu :( A - 1 * ident( 3)). covect([ x, y, z]) ;
solucion : linsolve([ ecu[ 1][ 1] = 0, ecu[ 2][ 1] = 0],[ x, y, z]) ;

\begin{matrix} (ecu) & (\begin{matrix} y + 2 x \\ 2 y + x \\ 0 \end{matrix}) \end{matrix}

\begin{matrix} (solucion) & [x = 0, y = 0, z = %r1] \end{matrix}

Damos al parámetro el valor necesario para que sea una autovector. Por ejemplo, con el valor de 1, tenemos

(%i9)

autovector1 : ev([ x, y, z], ev( solucion, %r1 = 1)) ;
A. transpose( autovector1) ;

\begin{matrix} (autovector1) & [0, 0, 1] \end{matrix}

\begin{matrix} (%o9) & (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}

Repetimos el proceso para el autovalor 2

(%i11)

ecu :( A - 2 * ident( 3)). covect([ x, y, z]) ;
solucion : linsolve([ ecu[ 1][ 1] = 0, ecu[ 2][ 1] = 0, ecu[ 3][ 1] = 0],[ x, y, z]) ;

\begin{matrix} (ecu) & (\begin{matrix} y + x \\ y + x \\ - z \end{matrix}) \\ solve: dependent equations eliminated: (1) \end{matrix}

\begin{matrix} (solucion) & [x = %r2, y = - %r2, z = 0] \end{matrix}

(%i12)

autovector2 : ev([ x, y, z], ev( solucion, %r2 = 1)) ;

\begin{matrix} (autovector2) & [1, - 1, 0] \end{matrix}

Repetimos el proceso para el autovalor 4

(%i14)

ecu :( A - 4 * ident( 3)). covect([ x, y, z]) ;
solucion : linsolve([ ecu[ 1][ 1] = 0, ecu[ 2][ 1] = 0, ecu[ 3][ 1] = 0],[ x, y, z]) ;

\begin{matrix} (ecu) & (\begin{matrix} y - x \\ x - y \\ - 3 z \end{matrix}) \\ solve: dependent equations eliminated: (1) \end{matrix}

\begin{matrix} (solucion) & [x = %r3, y = %r3, z = 0] \end{matrix}

(%i15)

autovector3 : ev([ x, y, z], ev( solucion, %r3 = 1)) ;

\begin{matrix} (autovector3) & [1, 1, 0] \end{matrix}

Ahora formamos la matriz P con los autovectores obtenidos, siguiendo el orden de los autovalores de menor a mayor:

(%i16)

P : transpose( matrix( autovector1, autovector2, autovector3)) ;

\begin{matrix} (P) & (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \end{matrix}

Ejercicio nos pide la traza de $P.P^t$:

(%i17)

mat_trace( P. transpose( P)) ;

\begin{matrix} 0 errores, 0 advertencias \end{matrix}

\begin{matrix} (%o17) & 5 \end{matrix}

Esto mismo lo podíamos obtener utilizando las funciones de maxima:

(%i18)

autov : eigenvectors( A) ;

\begin{matrix} (autov) & [[[2, 4, 1], [1, 1, 1]], [[[1, - 1, 0]], [[1, 1, 0]], [[0, 0, 1]]]] \end{matrix}

El primer vector nos da los valores propios distintos sus multiplicidades algebraicas, y el segundo, los vectores propios asociados a cada valor propio. Así:

(%i19)

P : transpose( matrix( autov[ 2][ 3][ 1], autov[ 2][ 1][ 1], autov[ 2][ 2][ 1])) ;

\begin{matrix} (P) & (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \end{matrix}

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