Ejer_volumen_casquete

Ejercicio

¿Cuál es el volumen de un casquete esférico, si el radio de la esfera es \(r=1\) y la altura del casquete \(h=0.2\)?

Si observamos la figura vemos que el volumen que buscamos es la integral del área de los círculos de radio \(a\): \(V=\int \pi a^2\ dh\).

Figura 1:Casquete esférico
Diagram

Por la relación del triangulo rectángulo de la figura, sabemos: \((r-h)^2+a^2=r^2\), luego

(%i1)

A( h, r) : = %pi *( r ^ 2 -( r - h) ^ 2) ;

\begin{matrix} (%o1) & A (h, r) := π (r^{2} - {(r - h)}^{2}) \end{matrix}

Ahora calculamos la primitiva y aplicamos Barrow

(%i3)

define( P( h, r), integrate( A( h, r), h)) ;
/* aplicando la regla de Barrow */
P( 0 . 2, 1) - P( 0, 1) ;

\begin{matrix} (%o2) & P (h, r) := π (h^{2} r - \frac{h^{3}}{3}) \end{matrix}

\begin{matrix} (%o3) & 0.03733333333333334 π \end{matrix}

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