Ejercicio

Determinar la longitud del arco de la función \(f(x)=x\ \sin(x^2)\) en el intervalo \([0,\sqrt{\pi}]\)
Veamos la gráfica de la función y resolvamos el problema mediante una aproximación.
(%i2) f ( x ) : = x · sin ( x ^ 2 ) $
wxplot2d ( f ( x ) , [ x , 0 , sqrt ( %pi ) ] ) ;

\[\operatorname{ }\]

(Graphics)

\[\operatorname{ }\]

Recordemos que la longitud de arco se calcula mediante \[s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[f'\left(x\right)\right]^{2}}}\,{\text{d}}x\]
(%i3) define ( g ( x ) , sqrt ( 1 + diff ( f ( x ) , x ) ^ 2 ) ) ;

\[\operatorname{ }\operatorname{g}(x)\operatorname{:=}\sqrt{{{\left( \sin{\left( {{x}^{2}}\right) }+2 {{x}^{2}} \cos{\left( {{x}^{2}}\right) }\right) }^{2}}+1}\]

Ahora utilizamos la regla de Simpson de 3/8: \[\int_{x_0}^{x_3} g(x) dx \approx\frac{3h}{8}(g(x_0)+3g(x_1)+3g(x_2)+g(x_3))\]
(%i7) h : sqrt ( %pi ) / 3 $
p : g ( makelist ( 0 + i · h , i , 0 , 3 ) ) $
p : [ p [ 1 ] , 3 · p [ 2 ] , 3 · p [ 3 ] , p [ 4 ] ] $
float ( apply ( "+" , ( 3 · h / 8 ) · p ) ) ;

\[\operatorname{ }3.751789328304032\]

(%i8) /* el método de integración de maxima nos da */
quad_qags ( g ( x ) , x , 0 , sqrt ( %pi ) ) ;

\[\operatorname{ }\left[ 3.424507695450965\operatorname{,}1.255616987359656 {{10}^{-9}}\operatorname{,}147\operatorname{,}0\right] \]

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