Sea \(\mathbb{R}_2[X]\), el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, como subespacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [0,1], en la que definimos un producto escalar, \(p\bullet q\), mediante:\[p\bullet q=\int_0^1p(x)q(x)dx.\]¿Cuál es el coseno entre los vectores \(x-x^2\) y \(1+x+x^2\)?.

Para resolver este ejercicio, utilizaremos la fórmula conocida: \[cos(\vec{u},\vec{v})=\frac{\vec{u}\bullet \vec{v}}{||\vec{u}||\, ||\vec{v}||}\]

En este caso \[cos({x-x^2},{1+x+x^2})=\frac{\int_0^1(x-x^2)(1+x+x^2)dx}{\sqrt{\int_0^1(x-x^2)^2dx}\, \sqrt{\int_0^1(1+x+x^2)^2dx}}\]