Ejer_minimos_cuadrados

Ejercicio

Cuál es el error de una solución por mínimos cuadrados del sistema incompatible

\begin{matrix} (bm) & {\begin{matrix} 2y-x=4 \\ 2x-3y=1 \\ 3y-x=2 \end{matrix} \end{matrix}

Verifiquemos la incompatibilidad del sistema y la existencia de una solución por mínimos cuadrados.

(%i4)

A : matrix([ - 1, 2],[ 2, - 3],[ - 1, 3]) $
b : matrix([ 4],[ 1],[ 2]) $
print( "rango de la matriz de coeficientes:", rank( A)) $
print( "rango de la matriz ampliada:", rank( addcol( A, b))) $

\begin{matrix} rango de la matriz de coeficientes: 2 \\ rango de la matriz ampliada: 3 \end{matrix}

Como ambos rangos son distintos el sistema no tiene solución. Además, como el el rango de la matriz de el rango de A es 2, coincidente con el número de incognitas, nos dice que $A^tA$ tiene inversa, y el sistema tiene solución por mínimos cuadrados.

(%i8)

C : transpose( A). A ;
C : invert( C) ;
C : C. transpose( A) ;
xm : C. b ;

\begin{matrix} (C) & (\begin{matrix} 6 & - 11 \\ - 11 & 22 \end{matrix}) \end{matrix}

\begin{matrix} (C) & (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & \frac{6}{11} \end{matrix}) \end{matrix}

\begin{matrix} (C) & (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ \frac{1}{11} & \frac{4}{11} & \frac{7}{11} \end{matrix}) \end{matrix}

\begin{matrix} (xm) & (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}

La solución aproximada será:

(%i9)

bm : A. xm ;

\begin{matrix} (bm) & (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}

El error será la norma de la diferencia entre la solución real y la aproximada:

(%i11)

be : b - bm ;
sqrt( transpose( be). be) ;

\begin{matrix} (be) & (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) \end{matrix}

\begin{matrix} (%o11) & \sqrt{11} \end{matrix}

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